Theorem xpsgrp 17581

Description: The binary product of groups is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsgrp.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Proof of Theorem xpsgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsgrp.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑅 ∈ Grp)
5		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑆 ∈ Grp)
6		eqid 2651	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2651	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 16279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
10	6	xpsff1o2 16278	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpslem 16280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
12		f1oeq3 6167	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
14	10, 13	mpbii 223	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
15		f1ocnv 6187	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16		f1of1 6174	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
18		2on 7613	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 ∈ On
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 2𝑜 ∈ On)
20		fvexd 6241	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
21		xpscf 16273	. . . . 5 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp))
22	21	biimpri 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp)
23	8, 19, 20, 22	prdsgrpd 17572	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp)
24		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
25		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
26	24, 25	imasgrpf1 17579	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
27	17, 23, 26	syl2anc 694	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
28	9, 27	eqeltrd 2730	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  ran crn 5144  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  –1-1→wf1 5923  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  2_𝑜c2o 7599   +_𝑐 ccda 9027  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991  X_scprds 16153   “_s cimas 16211   ×_s cxps 16213  Grpcgrp 17469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473

This theorem is referenced by: (None)