Theorem xpsgrp 17298

Description: The binary product of groups is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsgrp.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Proof of Theorem xpsgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsgrp.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2604	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2604	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 471	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑅 ∈ Grp)
5		simpr 475	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑆 ∈ Grp)
6		eqid 2604	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7		eqid 2604	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2604	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 15996	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
10	6	xpsff1o2 15995	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpslem 15997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
12		f1oeq3 6022	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
14	10, 13	mpbii 221	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
15		f1ocnv 6042	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16		f1of1 6029	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
18		2on 7427	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 ∈ On
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 2𝑜 ∈ On)
20		fvex 6093	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
22		xpscf 15990	. . . . 5 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp))
23	22	biimpri 216	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp)
24	8, 19, 21, 23	prdsgrpd 17289	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp)
25		eqid 2604	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
26		eqid 2604	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
27	25, 26	imasgrpf1 17296	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
28	17, 24, 27	syl2anc 690	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
29	9, 28	eqeltrd 2682	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1975  Vcvv 3167  {csn 4119   × cxp 5021  ^◡ccnv 5022  ran crn 5024  Oncon0 5621  ⟶wf 5781  –1-1→wf1 5782  –1-1-onto→wf1o 5784  ‘cfv 5785  (class class class)co 6522   ↦ cmpt2 6524  2_𝑜c2o 7413   +_𝑐 ccda 8844  Basecbs 15636  Scalarcsca 15712  X_scprds 15870   “_s cimas 15928   ×_s cxps 15930  Grpcgrp 17186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-inf 8204  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-hom 15734  df-cco 15735  df-0g 15866  df-prds 15872  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190

This theorem is referenced by: (None)