MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsgrp 17298
Description: The binary product of groups is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsgrp.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
xpsgrp ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Proof of Theorem xpsgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsgrp.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 eqid 2604 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2604 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 simpl 471 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑅 ∈ Grp)
5 simpr 475 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑆 ∈ Grp)
6 eqid 2604 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2604 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2604 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 15996 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
106xpsff1o2 15995 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 15997 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
12 f1oeq3 6022 . . . . . 6 (ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
1410, 13mpbii 221 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
15 f1ocnv 6042 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16 f1of1 6029 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
1714, 15, 163syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
18 2on 7427 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
1918a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 2𝑜 ∈ On)
20 fvex 6093 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
22 xpscf 15990 . . . . 5 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp))
2322biimpri 216 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp)
248, 19, 21, 23prdsgrpd 17289 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp)
25 eqid 2604 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
26 eqid 2604 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
2725, 26imasgrpf1 17296 . . 3 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
2817, 24, 27syl2anc 690 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
299, 28eqeltrd 2682 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3167  {csn 4119   × cxp 5021  ccnv 5022  ran crn 5024  Oncon0 5621  wf 5781  1-1wf1 5782  1-1-ontowf1o 5784  cfv 5785  (class class class)co 6522  cmpt2 6524  2𝑜c2o 7413   +𝑐 ccda 8844  Basecbs 15636  Scalarcsca 15712  Xscprds 15870  s cimas 15928   ×s cxps 15930  Grpcgrp 17186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-inf 8204  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-hom 15734  df-cco 15735  df-0g 15866  df-prds 15872  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-minusg 17190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator