Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsmnd 17324
 Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsmnd.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
xpsmnd ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 ∈ Mnd)

Proof of Theorem xpsmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsmnd.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 simpl 473 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑅 ∈ Mnd)
5 simpr 477 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ Mnd)
6 eqid 2621 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2621 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16226 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
106xpsff1o2 16225 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 16227 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
12 f1oeq3 6127 . . . . . 6 (ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
1410, 13mpbii 223 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
15 f1ocnv 6147 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16 f1of1 6134 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
1714, 15, 163syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
18 2on 7565 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
1918a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 2𝑜 ∈ On)
20 fvexd 6201 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
21 xpscf 16220 . . . . 5 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Mnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
2221biimpri 218 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Mnd)
238, 19, 20, 22prdsmndd 17317 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Mnd)
24 eqid 2621 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
25 eqid 2621 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
2624, 25imasmndf1 17323 . . 3 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Mnd) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Mnd)
2717, 23, 26syl2anc 693 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Mnd)
289, 27eqeltrd 2700 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 ∈ Mnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  Vcvv 3198  {csn 4175   × cxp 5110  ◡ccnv 5111  ran crn 5113  Oncon0 5721  ⟶wf 5882  –1-1→wf1 5883  –1-1-onto→wf1o 5885  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647   ↦ cmpt2 6649  2𝑜c2o 7551   +𝑐 ccda 8986  Basecbs 15851  Scalarcsca 15938  Xscprds 16100   “s cimas 16158   ×s cxps 16160  Mndcmnd 17288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-hom 15960  df-cco 15961  df-0g 16096  df-prds 16102  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator