MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsgrpd 17290
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsgrpd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsgrpd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd (𝜑𝑌 ∈ Grp)

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2606 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2 eqidd 2606 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
3 prdsgrpd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4 prdsgrpd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsgrpd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdsgrpd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
7 grpmnd 17194 . . . . 5 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
87ssriv 3567 . . . 4 Grp ⊆ Mnd
9 fss 5951 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
106, 8, 9sylancl 692 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
113, 4, 5, 10prds0g 17089 . 2 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
123, 4, 5, 10prdsmndd 17088 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
13 eqid 2605 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14 eqid 2605 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
15 elex 3180 . . . . . 6 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
165, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
1716adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
18 elex 3180 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝐼 ∈ V)
194, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
2019adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
216adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
22 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
23 eqid 2605 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
24 eqid 2605 . . . 4 (𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏))) = (𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
253, 13, 14, 17, 20, 21, 22, 23, 24prdsinvlem 17289 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))(+g𝑌)𝑎) = (0g𝑅)))
2625simpld 473 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏))) ∈ (Base‘𝑌))
2725simprd 477 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))(+g𝑌)𝑎) = (0g𝑅))
281, 2, 11, 12, 26, 27isgrpd2 17207 1 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  wss 3535  cmpt 4633  ccom 5028  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  0gc0g 15865  Xscprds 15871  Mndcmnd 17059  Grpcgrp 17187  invgcminusg 17188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-prds 15873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  17291  pwsgrp  17292  xpsgrp  17299  prdsabld  18030  prdsringd  18377  prdslmodd  18732  dsmmsubg  19844  prdstgpd  21676
  Copyright terms: Public domain W3C validator