Theorem zlmtset 31206

Description: Topology in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmtset.1	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmtset	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem zlmtset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem2.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	zlmval 20663	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
4	3	fveq2d 6674	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
5		zlmtset.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐺)
6		tsetid 16660	. . . 4 ⊢ TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
7		5re 11725	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		5lt9 11840	. . . . . 6 ⊢ 5 < 9
9	7, 8	gtneii 10752	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 5
10		tsetndx 16659	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11		scandx 16632	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12	10, 11	neeq12i 3082	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
13	9, 12	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
14	6, 13	setsnid 16539	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
15		6re 11728	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
16		6lt9 11839	. . . . . 6 ⊢ 6 < 9
17	15, 16	gtneii 10752	. . . . 5 ⊢ 9 ≠ 6
18		vscandx 16634	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
19	10, 18	neeq12i 3082	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
20	17, 19	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
21	6, 20	setsnid 16539	. . 3 ⊢ (TopSet‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
22	5, 14, 21	3eqtri 2848	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
23	4, 22	syl6reqr 2875	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ⟨cop 4573  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  5c5 11696  6c6 11697  9c9 11700  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  TopSetcts 16571  ._gcmg 18224  ℤ_ringzring 20617  ℤModczlm 20648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-tset 16584  df-zlm 20652

This theorem is referenced by:  zhmnrg  31208