MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtneii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtneii 10109
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
gtneii 𝐵𝐴

Proof of Theorem gtneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ltneii.2 . 2 𝐴 < 𝐵
3 ltne 10094 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3mp2an 707 1 𝐵𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cr 9895   < clt 10034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039
This theorem is referenced by:  ltneii  10110  fztpval  12360  geo2sum  14548  bpoly4  14734  ene1  14882  3dvds  14995  3dvdsOLD  14996  3lcm2e6  15383  resslem  15873  rescco  16432  oppgtset  17722  mgpsca  18436  mgptset  18437  mgpds  18439  cnfldfun  19698  psgnodpmr  19876  matsca  20161  matvsca  20162  tuslem  22011  setsmsds  22221  tngds  22392  logbrec  24454  log2le1  24611  2lgsoddprmlem3a  25069  2lgsoddprmlem3b  25070  2lgsoddprmlem3c  25071  2lgsoddprmlem3d  25072  konigsberglem2  27015  ex-dif  27168  ex-in  27170  ex-pss  27173  ex-res  27186  oppgle  29480  resvvsca  29661  zlmds  29832  zlmtset  29833  ballotlemi1  30387  sgnnbi  30430  sgnpbi  30431  signswch  30460  itgexpif  30493  fdc  33212  areaquad  37322  stirlinglem4  39631  stirlinglem13  39640  stirlinglem14  39641  stirlingr  39644  dirker2re  39646  dirkerdenne0  39647  dirkerre  39649  dirkertrigeqlem1  39652  dirkercncflem2  39658  dirkercncflem4  39660  fourierdlem16  39677  fourierdlem21  39682  fourierdlem22  39683  fourierdlem66  39726  fourierdlem83  39743  fourierdlem103  39763  fourierdlem104  39764  sqwvfoura  39782  sqwvfourb  39783  fourierswlem  39784  fouriersw  39785  etransclem46  39834  fmtnoprmfac2lem1  40807  zlmodzxzldeplem  41605
  Copyright terms: Public domain W3C validator