MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtneii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtneii 9997
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
gtneii 𝐵𝐴

Proof of Theorem gtneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ltneii.2 . 2 𝐴 < 𝐵
3 ltne 9982 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3mp2an 703 1 𝐵𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  cr 9788   < clt 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932
This theorem is referenced by:  ltneii  9998  fztpval  12224  geo2sum  14386  bpoly4  14572  ene1  14720  3dvds  14833  3dvdsOLD  14834  3lcm2e6  15221  resslem  15703  rescco  16258  oppgtset  17548  mgpsca  18262  mgptset  18263  mgpds  18265  psgnodpmr  19697  matsca  19979  matvsca  19980  tuslem  21820  setsmsds  22029  tngds  22197  logbrec  24234  log2le1  24391  2lgsoddprmlem3a  24849  2lgsoddprmlem3b  24850  2lgsoddprmlem3c  24851  2lgsoddprmlem3d  24852  constr3pthlem1  25946  konigsberg  26277  ex-dif  26435  ex-in  26437  ex-pss  26440  ex-res  26453  oppgle  28787  resvvsca  28968  zlmds  29139  zlmtset  29140  ballotlemi1  29694  sgnnbi  29737  sgnpbi  29738  signswch  29767  fdc  32511  areaquad  36621  stirlinglem4  38771  stirlinglem13  38780  stirlinglem14  38781  stirlingr  38784  dirker2re  38786  dirkerdenne0  38787  dirkerre  38789  dirkertrigeqlem1  38792  dirkercncflem2  38798  dirkercncflem4  38800  fourierdlem16  38817  fourierdlem21  38822  fourierdlem22  38823  fourierdlem66  38866  fourierdlem83  38883  fourierdlem103  38903  fourierdlem104  38904  sqwvfoura  38922  sqwvfourb  38923  fourierswlem  38924  fouriersw  38925  etransclem46  38974  fmtnoprmfac2lem1  39818  structvtxval  40253  konigsberglem2  41422  zlmodzxzldeplem  42080
  Copyright terms: Public domain W3C validator