MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zneo 11288
Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zneo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))

Proof of Theorem zneo
StepHypRef Expression
1 halfnz 11283 . . 3 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 2cn 10934 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
3 zcn 11211 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 mulcl 9872 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
62, 4, 5sylancr 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7 zcn 11211 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 mulcl 9872 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
102, 8, 9sylancr 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11 1cnd 9908 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
126, 10, 11subaddd 10257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 ↔ ((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴)))
132a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
1413, 4, 8subdid 10332 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · (𝐴𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)))
1514oveq1d 6538 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴𝐵)) / 2) = (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2))
16 zsubcl 11248 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
17 zcn 11211 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
19 2ne0 10956 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
2118, 13, 20divcan3d 10651 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴𝐵)) / 2) = (𝐴𝐵))
2215, 21eqtr3d 2641 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (𝐴𝐵))
2322, 16eqeltrd 2683 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ)
24 oveq1 6530 . . . . . . 7 (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (1 / 2))
2524eleq1d 2667 . . . . . 6 (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → ((((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
2623, 25syl5ibcom 233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
2712, 26sylbird 248 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴) → (1 / 2) ∈ ℤ))
2827necon3bd 2791 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴)))
291, 28mpi 20 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴))
3029necomd 2832 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  (class class class)co 6523  cc 9786  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  cmin 10113   / cdiv 10529  2c2 10913  cz 11206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207
This theorem is referenced by:  nneo  11289  zeo2  11292  znnenlem  14721
  Copyright terms: Public domain W3C validator