Theorem ax2 204

Description: Axiom Frege. Axiom A2 of [Margaris] p. 49. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ax1.1	⊢ R:∗
ax1.2	⊢ S:∗
ax2.3	⊢ T:∗

Assertion

Ref	Expression
ax2	⊢ ⊤⊧[[R ⇒ [S ⇒ T]] ⇒ [[R ⇒ S] ⇒ [R ⇒ T]]]

Proof of Theorem ax2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax2.3	. . . . . 6 ⊢ T:∗
2		ax1.2	. . . . . . 7 ⊢ S:∗
3		wim 137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
4		ax1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ R:∗
5	3, 2, 1	wov 72	. . . . . . . . . 10 ⊢ [S ⇒ T]:∗
6	3, 4, 5	wov 72	. . . . . . . . 9 ⊢ [R ⇒ [S ⇒ T]]:∗
7	3, 4, 2	wov 72	. . . . . . . . 9 ⊢ [R ⇒ S]:∗
8	6, 7	wct 48	. . . . . . . 8 ⊢ ([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]):∗
9	8, 4	simpr 23	. . . . . . 7 ⊢ (([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]), R)⊧R
10	8, 4	simpl 22	. . . . . . . 8 ⊢ (([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]), R)⊧([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S])
11	10	simprd 38	. . . . . . 7 ⊢ (([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]), R)⊧[R ⇒ S]
12	2, 9, 11	mpd 156	. . . . . 6 ⊢ (([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]), R)⊧S
13	10	simpld 37	. . . . . . 7 ⊢ (([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]), R)⊧[R ⇒ [S ⇒ T]]
14	5, 9, 13	mpd 156	. . . . . 6 ⊢ (([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]), R)⊧[S ⇒ T]
15	1, 12, 14	mpd 156	. . . . 5 ⊢ (([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S]), R)⊧T
16	15	ex 158	. . . 4 ⊢ ([R ⇒ [S ⇒ T]], [R ⇒ S])⊧[R ⇒ T]
17	16	ex 158	. . 3 ⊢ [R ⇒ [S ⇒ T]]⊧[[R ⇒ S] ⇒ [R ⇒ T]]
18		wtru 43	. . 3 ⊢ ⊤:∗
19	17, 18	adantl 56	. 2 ⊢ (⊤, [R ⇒ [S ⇒ T]])⊧[[R ⇒ S] ⇒ [R ⇒ T]]
20	19	ex 158	1 ⊢ ⊤⊧[[R ⇒ [S ⇒ T]] ⇒ [[R ⇒ S] ⇒ [R ⇒ T]]]

Syntax hints:  ∗hb 3  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 121

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-an 128  df-im 129

This theorem is referenced by: (None)