Theorem ax3 205

Description: Axiom Transp. Axiom A3 of [Margaris] p. 49. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ax3.1	⊢ R:∗
ax3.2	⊢ S:∗

Assertion

Ref	Expression
ax3	⊢ ⊤⊧[[(¬ R) ⇒ (¬ S)] ⇒ [S ⇒ R]]

Proof of Theorem ax3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax3.1	. . . . 5 ⊢ R:∗
2		wnot 138	. . . . . 6 ⊢ ¬ :(∗ → ∗)
3	2, 1	wc 50	. . . . 5 ⊢ (¬ R):∗
4		wim 137	. . . . . . . 8 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
5		ax3.2	. . . . . . . . 9 ⊢ S:∗
6	2, 5	wc 50	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ S):∗
7	4, 3, 6	wov 72	. . . . . . 7 ⊢ [(¬ R) ⇒ (¬ S)]:∗
8	7, 5	wct 48	. . . . . 6 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S):∗
9	1	exmid 199	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[R ∨ (¬ R)]
10	8, 9	a1i 28	. . . . 5 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S)⊧[R ∨ (¬ R)]
11	10	ax-cb1 29	. . . . . 6 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S):∗
12	11, 1	simpr 23	. . . . 5 ⊢ (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S), R)⊧R
13		wfal 135	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥:∗
14	7	id 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ [(¬ R) ⇒ (¬ S)]⊧[(¬ R) ⇒ (¬ S)]
15	3, 6, 14	imp 157	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R))⊧(¬ S)
16	15	ax-cb1 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R)):∗
17	5	notval 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊤⊧[(¬ S) = [S ⇒ ⊥]]
18	16, 17	a1i 28	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R))⊧[(¬ S) = [S ⇒ ⊥]]
19	15, 18	mpbi 82	. . . . . . . 8 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R))⊧[S ⇒ ⊥]
20	5, 13, 19	imp 157	. . . . . . 7 ⊢ (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R)), S)⊧⊥
21	20	an32s 60	. . . . . 6 ⊢ (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S), (¬ R))⊧⊥
22	1	pm2.21 153	. . . . . 6 ⊢ ⊥⊧R
23	21, 22	syl 16	. . . . 5 ⊢ (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S), (¬ R))⊧R
24	1, 3, 1, 10, 12, 23	ecase 163	. . . 4 ⊢ ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S)⊧R
25	24	ex 158	. . 3 ⊢ [(¬ R) ⇒ (¬ S)]⊧[S ⇒ R]
26		wtru 43	. . 3 ⊢ ⊤:∗
27	25, 26	adantl 56	. 2 ⊢ (⊤, [(¬ R) ⇒ (¬ S)])⊧[S ⇒ R]
28	27	ex 158	1 ⊢ ⊤⊧[[(¬ R) ⇒ (¬ S)] ⇒ [S ⇒ R]]

Syntax hints:  ∗hb 3  kc 5   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  ⊥tfal 118  ¬ tne 120   ⇒ tim 121   ∨ tor 124

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-wat 192  ax-ac 196

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130  df-or 132

This theorem is referenced by: (None)