Theorem 0disj 4030

Description: Any collection of empty sets is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0disj	|- Disj x e. A (/)

Proof of Theorem 0disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3489	. . 3 |- (/) C_ { x }
2	1	rgenw 2552	. 2 |- A. x e. A (/) C_ { x }
3		sndisj 4029	. 2 |- Disj x e. A { x }
4		disjss2 4013	. 2 |- ( A. x e. A (/) C_ { x } -> (Disj x e. A { x } -> Disj x e. A (/) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Disj x e. A (/)

Syntax hints:   A.wral 2475   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622  Disj wdisj 4010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rmo 2483  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-disj 4011

This theorem is referenced by: (None)