Theorem 0disj 4014

Description: Any collection of empty sets is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0disj	|- Disj x e. A (/)

Proof of Theorem 0disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3475	. . 3 |- (/) C_ { x }
2	1	rgenw 2544	. 2 |- A. x e. A (/) C_ { x }
3		sndisj 4013	. 2 |- Disj x e. A { x }
4		disjss2 3997	. 2 |- ( A. x e. A (/) C_ { x } -> (Disj x e. A { x } -> Disj x e. A (/) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Disj x e. A (/)

Syntax hints:   A.wral 2467   C_ wss 3143   (/)c0 3436   {csn 3606  Disj wdisj 3994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2170

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rmo 2475  df-v 2753  df-dif 3145  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-sn 3612  df-disj 3995

This theorem is referenced by: (None)