Theorem 0disj 4080

Description: Any collection of empty sets is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0disj	|- Disj x e. A (/)

Proof of Theorem 0disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3530	. . 3 |- (/) C_ { x }
2	1	rgenw 2585	. 2 |- A. x e. A (/) C_ { x }
3		sndisj 4079	. 2 |- Disj x e. A { x }
4		disjss2 4062	. 2 |- ( A. x e. A (/) C_ { x } -> (Disj x e. A { x } -> Disj x e. A (/) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Disj x e. A (/)

Syntax hints:   A.wral 2508   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666  Disj wdisj 4059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rmo 2516  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-sn 3672  df-disj 4060

This theorem is referenced by: (None)