Theorem 0disj 4106

Description: Any collection of empty sets is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0disj	|- Disj x e. A (/)

Proof of Theorem 0disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3547	. . 3 |- (/) C_ { x }
2	1	rgenw 2597	. 2 |- A. x e. A (/) C_ { x }
3		sndisj 4105	. 2 |- Disj x e. A { x }
4		disjss2 4088	. 2 |- ( A. x e. A (/) C_ { x } -> (Disj x e. A { x } -> Disj x e. A (/) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	1 |- Disj x e. A (/)

Syntax hints:   A.wral 2520   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689  Disj wdisj 4085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rmo 2528  df-v 2815  df-dif 3213  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-sn 3695  df-disj 4086

This theorem is referenced by: (None)