Theorem 0disj 3978

Description: Any collection of empty sets is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0disj	⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅

Proof of Theorem 0disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3446	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {𝑥}
2	1	rgenw 2520	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∅ ⊆ {𝑥}
3		sndisj 3977	. 2 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
4		disjss2 3961	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∅ ⊆ {𝑥} → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅))
5	2, 3, 4	mp2 16	1 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅

Syntax hints:  ∀wral 2443   ⊆ wss 3115  ∅c0 3408  {csn 3575  Disj wdisj 3958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rmo 2451  df-v 2727  df-dif 3117  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-sn 3581  df-disj 3959

This theorem is referenced by: (None)