Theorem 0disj 4051

Description: Any collection of empty sets is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0disj	⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅

Proof of Theorem 0disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3503	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {𝑥}
2	1	rgenw 2562	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∅ ⊆ {𝑥}
3		sndisj 4050	. 2 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥}
4		disjss2 4033	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∅ ⊆ {𝑥} → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅))
5	2, 3, 4	mp2 16	1 ⊢ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 ∅

Syntax hints:  ∀wral 2485   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  {csn 3638  Disj wdisj 4030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rmo 2493  df-v 2775  df-dif 3172  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-sn 3644  df-disj 4031

This theorem is referenced by: (None)