Theorem 2eu7 2172

Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2eu7	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Proof of Theorem 2eu7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 1541	. . . 4 |- ( E. x ph -> A. x E. x ph )
2	1	hbeu 2098	. . 3 |- ( E! y E. x ph -> A. x E! y E. x ph )
3	2	euan 2134	. 2 |- ( E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
4		ancom 266	. . . . 5 |- ( ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E. y ph /\ E. x ph ) )
5	4	eubii 2086	. . . 4 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) )
6		hbe1 1541	. . . . 5 |- ( E. y ph -> A. y E. y ph )
7	6	euan 2134	. . . 4 |- ( E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) <-> ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) )
8		ancom 266	. . . 4 |- ( ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
9	5, 7, 8	3bitri 206	. . 3 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
10	9	eubii 2086	. 2 |- ( E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
11		ancom 266	. 2 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
12	3, 10, 11	3bitr4ri 213	1 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1538   E!weu 2077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081

This theorem is referenced by: (None)