Theorem 2eu7 2093

Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2eu7	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Proof of Theorem 2eu7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 1471	. . . 4 |- ( E. x ph -> A. x E. x ph )
2	1	hbeu 2020	. . 3 |- ( E! y E. x ph -> A. x E! y E. x ph )
3	2	euan 2055	. 2 |- ( E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
4		ancom 264	. . . . 5 |- ( ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E. y ph /\ E. x ph ) )
5	4	eubii 2008	. . . 4 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) )
6		hbe1 1471	. . . . 5 |- ( E. y ph -> A. y E. y ph )
7	6	euan 2055	. . . 4 |- ( E! y ( E. y ph /\ E. x ph ) <-> ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) )
8		ancom 264	. . . 4 |- ( ( E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
9	5, 7, 8	3bitri 205	. . 3 |- ( E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
10	9	eubii 2008	. 2 |- ( E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) <-> E! x ( E! y E. x ph /\ E. y ph ) )
11		ancom 264	. 2 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E! y E. x ph /\ E! x E. y ph ) )
12	3, 10, 11	3bitr4ri 212	1 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> E! x E! y ( E. x ph /\ E. y ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   E!weu 1999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003

This theorem is referenced by: (None)