Theorem 2eu4 2107

Description: This theorem provides us with a definition of double existential uniqueness ("exactly one x and exactly one y"). Naively one might think (incorrectly) that it could be defined by E! x E! y ph. See 2exeu 2106 for a one-way implication. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2eu4	|- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E. x E. y ph /\ E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w   ph, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem 2eu4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1514	. . . 4 |- ( E. y ph -> A. z E. y ph )
2	1	eu3h 2059	. . 3 |- ( E! x E. y ph <-> ( E. x E. y ph /\ E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) ) )
3		ax-17 1514	. . . 4 |- ( E. x ph -> A. w E. x ph )
4	3	eu3h 2059	. . 3 |- ( E! y E. x ph <-> ( E. y E. x ph /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
5	2, 4	anbi12i 456	. 2 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( ( E. x E. y ph /\ E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) ) /\ ( E. y E. x ph /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) ) )
6		an4 576	. 2 |- ( ( ( E. x E. y ph /\ E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) ) /\ ( E. y E. x ph /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) ) <-> ( ( E. x E. y ph /\ E. y E. x ph ) /\ ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) ) )
7		excom 1652	. . . . 5 |- ( E. y E. x ph <-> E. x E. y ph )
8	7	anbi2i 453	. . . 4 |- ( ( E. x E. y ph /\ E. y E. x ph ) <-> ( E. x E. y ph /\ E. x E. y ph ) )
9		anidm 394	. . . 4 |- ( ( E. x E. y ph /\ E. x E. y ph ) <-> E. x E. y ph )
10	8, 9	bitri 183	. . 3 |- ( ( E. x E. y ph /\ E. y E. x ph ) <-> E. x E. y ph )
11		hba1 1528	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x A. y ( ph -> y = w ) -> A. x A. x A. y ( ph -> y = w ) )
12	11	19.3h 1541	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. x A. y ( ph -> y = w ) <-> A. x A. y ( ph -> y = w ) )
13	12	anbi2i 453	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. x A. y ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
14		19.26 1469	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
15		jcab 593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) )
16	15	albii 1458	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. y ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) )
17		19.26 1469	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y ( ( ph -> x = z ) /\ ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. y ( ph -> y = w ) ) )
18	16, 17	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. y ( ph -> y = w ) ) )
19	18	albii 1458	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. y ( ph -> y = w ) ) )
20		19.26 1469	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. y ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
21	19, 20	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( A. x A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
22	13, 14, 21	3bitr4ri 212	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
23		19.26 1469	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. y A. y ( ph -> x = z ) /\ A. y A. x ( ph -> y = w ) ) )
24		hba1 1528	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y ( ph -> x = z ) -> A. y A. y ( ph -> x = z ) )
25	24	19.3h 1541	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y A. y ( ph -> x = z ) <-> A. y ( ph -> x = z ) )
26		alcom 1466	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y A. x ( ph -> y = w ) <-> A. x A. y ( ph -> y = w ) )
27	25, 26	anbi12i 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. y A. y ( ph -> x = z ) /\ A. y A. x ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
28	23, 27	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x ( ph -> y = w ) ) <-> ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
29	28	albii 1458	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x ( ph -> y = w ) ) <-> A. x ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x A. y ( ph -> y = w ) ) )
30	22, 29	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> A. x A. y ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x ( ph -> y = w ) ) )
31		19.23v 1871	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ph -> x = z ) <-> ( E. y ph -> x = z ) )
32		19.23v 1871	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ph -> y = w ) <-> ( E. x ph -> y = w ) )
33	31, 32	anbi12i 456	. . . . . . 7 |- ( ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x ( ph -> y = w ) ) <-> ( ( E. y ph -> x = z ) /\ ( E. x ph -> y = w ) ) )
34	33	2albii 1459	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( A. y ( ph -> x = z ) /\ A. x ( ph -> y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( E. y ph -> x = z ) /\ ( E. x ph -> y = w ) ) )
35		hbe1 1483	. . . . . . . 8 |- ( E. y ph -> A. y E. y ph )
36		ax-17 1514	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> A. y x = z )
37	35, 36	hbim 1533	. . . . . . 7 |- ( ( E. y ph -> x = z ) -> A. y ( E. y ph -> x = z ) )
38		hbe1 1483	. . . . . . . 8 |- ( E. x ph -> A. x E. x ph )
39		ax-17 1514	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> A. x y = w )
40	38, 39	hbim 1533	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ph -> y = w ) -> A. x ( E. x ph -> y = w ) )
41	37, 40	aaanh 1574	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( E. y ph -> x = z ) /\ ( E. x ph -> y = w ) ) <-> ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
42	30, 34, 41	3bitri 205	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
43	42	2exbii 1594	. . . 4 |- ( E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) <-> E. z E. w ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
44		eeanv 1920	. . . 4 |- ( E. z E. w ( A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ A. y ( E. x ph -> y = w ) ) <-> ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) )
45	43, 44	bitr2i 184	. . 3 |- ( ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) <-> E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) )
46	10, 45	anbi12i 456	. 2 |- ( ( ( E. x E. y ph /\ E. y E. x ph ) /\ ( E. z A. x ( E. y ph -> x = z ) /\ E. w A. y ( E. x ph -> y = w ) ) ) <-> ( E. x E. y ph /\ E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )
47	5, 6, 46	3bitri 205	1 |- ( ( E! x E. y ph /\ E! y E. x ph ) <-> ( E. x E. y ph /\ E. z E. w A. x A. y ( ph -> ( x = z /\ y = w ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   E.wex 1480   E!weu 2014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017

This theorem is referenced by: (None)