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Theorem 2eu4 2041
Description: This theorem provides us with a definition of double existential uniqueness ("exactly one 
x and exactly one  y"). Naively one might think (incorrectly) that it could be defined by  E! x E! y ph. See 2exeu 2040 for a one-way implication. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2eu4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, w    ph, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2eu4
StepHypRef Expression
1 ax-17 1464 . . . 4  |-  ( E. y ph  ->  A. z E. y ph )
21eu3h 1993 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z ) ) )
3 ax-17 1464 . . . 4  |-  ( E. x ph  ->  A. w E. x ph )
43eu3h 1993 . . 3  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
52, 4anbi12i 448 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E. z A. x
( E. y ph  ->  x  =  z ) )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E. w A. y
( E. x ph  ->  y  =  w ) ) ) )
6 an4 553 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z ) )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E. w A. y
( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E. y E. x ph )  /\  ( E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) ) )
7 excom 1599 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
87anbi2i 445 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. x E. y ph ) )
9 anidm 388 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. x E. y ph )  <->  E. x E. y ph )
108, 9bitri 182 . . 3  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  <->  E. x E. y ph )
11 hba1 1478 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  y  =  w )  ->  A. x A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) )
121119.3h 1490 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. x A. y
( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) )
1312anbi2i 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. x A. y
( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
14 19.26 1415 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
15 jcab 570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1615albii 1404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  A. y ( (
ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) ) )
17 19.26 1415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( ( ph  ->  x  =  z )  /\  ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. y
( ph  ->  y  =  w ) ) )
1816, 17bitri 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
)  <->  ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
1918albii 1404 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. y
( ph  ->  y  =  w ) ) )
20 19.26 1415 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y (
ph  ->  y  =  w ) ) )
2119, 20bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2213, 14, 213bitr4ri 211 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
23 19.26 1415 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. y A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y A. x (
ph  ->  y  =  w ) ) )
24 hba1 1478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  ->  A. y A. y (
ph  ->  x  =  z ) )
252419.3h 1490 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y A. y ( ph  ->  x  =  z )  <->  A. y ( ph  ->  x  =  z ) )
26 alcom 1412 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  y  =  w )  <->  A. x A. y (
ph  ->  y  =  w ) )
2725, 26anbi12i 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. y A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2823, 27bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. y (
ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
2928albii 1404 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x A. y ( ph  ->  y  =  w ) ) )
3022, 29bitr4i 185 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  A. x A. y ( A. y
( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) ) )
31 19.23v 1811 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  <->  ( E. y ph  ->  x  =  z ) )
32 19.23v 1811 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ph  ->  y  =  w )  <->  ( E. x ph  ->  y  =  w ) )
3331, 32anbi12i 448 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x (
ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
34332albii 1405 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( A. y ( ph  ->  x  =  z )  /\  A. x ( ph  ->  y  =  w ) )  <->  A. x A. y ( ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
35 hbe1 1429 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ph  ->  A. y E. y ph )
36 ax-17 1464 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
3735, 36hbim 1482 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ph  ->  x  =  z )  ->  A. y ( E. y ph  ->  x  =  z ) )
38 hbe1 1429 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ph  ->  A. x E. x ph )
39 ax-17 1464 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  A. x  y  =  w )
4038, 39hbim 1482 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ph  ->  y  =  w )  ->  A. x ( E. x ph  ->  y  =  w ) )
4137, 40aaanh 1523 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  ( E. x ph  ->  y  =  w ) )  <-> 
( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
4230, 34, 413bitri 204 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y
( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
43422exbii 1542 . . . 4  |-  ( E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w ( A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
44 eeanv 1855 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )  <->  ( E. z A. x ( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )
4543, 44bitr2i 183 . . 3  |-  ( ( E. z A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) )  <->  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
4610, 45anbi12i 448 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E. y E. x ph )  /\  ( E. z A. x
( E. y ph  ->  x  =  z )  /\  E. w A. y ( E. x ph  ->  y  =  w ) ) )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
475, 6, 463bitri 204 1  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E. z E. w A. x A. y ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287   E.wex 1426   E!weu 1948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951
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