Theorem 3reeanv 2705

Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
3reeanv	|- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) )

Distinct variable groups:   ph, y, z   ps, x, z   ch, x, y   y, A   x, B, z   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( z)   A( x, z)   B( y)   C( z)

Proof of Theorem 3reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.41v 2690	. . 3 |- ( E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
2		reeanv 2704	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) )
3	2	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
4	1, 3	bitri 184	. 2 |- ( E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
5		df-3an 1007	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) )
6	5	2rexbii 2542	. . . 4 |- ( E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> E. y e. B E. z e. C ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) )
7		reeanv 2704	. . . 4 |- ( E. y e. B E. z e. C ( ( ph /\ ps ) /\ ch ) <-> ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
8	6, 7	bitri 184	. . 3 |- ( E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
9	8	rexbii 2540	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> E. x e. A ( E. y e. B ( ph /\ ps ) /\ E. z e. C ch ) )
10		df-3an 1007	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) <-> ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) /\ E. z e. C ch ) )
11	4, 9, 10	3bitr4i 212	1 |- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ( ph /\ ps /\ ch ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps /\ E. z e. C ch ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   E.wrex 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517

This theorem is referenced by:  imasmnd2  13615  imasgrp2  13777  imasrng  14050  imasring  14158