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Theorem 3reeanv 2647
Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
3reeanv  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Distinct variable groups:    ph, y, z    ps, x, z    ch, x, y    y, A    x, B, z    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( z)    A( x, z)    B( y)    C( z)

Proof of Theorem 3reeanv
StepHypRef Expression
1 r19.41v 2633 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\ 
ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
2 reeanv 2646 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  <->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps ) )
32anbi1i 458 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
41, 3bitri 184 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
5 df-3an 980 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
652rexbii 2486 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
7 reeanv 2646 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  (
( ph  /\  ps )  /\  ch )  <->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
86, 7bitri 184 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
98rexbii 2484 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
10 df-3an 980 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
114, 9, 103bitr4i 212 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978   E.wrex 2456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461
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