Theorem 3reeanv 2640

Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
3reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥,𝑧   𝜒,𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem 3reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.41v 2626	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))
2		reeanv 2639	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))
3	2	anbi1i 455	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))
4	1, 3	bitri 183	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))
5		df-3an 975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜒))
6	5	2rexbii 2479	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 ((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜒))
7		reeanv 2639	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 ((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))
8	6, 7	bitri 183	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))
9	8	rexbii 2477	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))
10		df-3an 975	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))
11	4, 9, 10	3bitr4i 211	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐶 (𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝜒))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973  ∃wrex 2449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454

This theorem is referenced by: (None)