Theorem bm1.3ii 4181

Description: Convert implication to equivalence using the Separation Scheme (Aussonderung) ax-sep 4178. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.3ii.1	|- E. x A. y ( ph -> y e. x )

Assertion

Ref	Expression
bm1.3ii	|- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Distinct variable groups:   ph, x   x, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem bm1.3ii

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm1.3ii.1	. . . . 5 |- E. x A. y ( ph -> y e. x )
2		elequ2 2183	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
3	2	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ph -> y e. x ) <-> ( ph -> y e. z ) ) )
4	3	albidv 1848	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y ( ph -> y e. x ) <-> A. y ( ph -> y e. z ) ) )
5	4	cbvexv 1943	. . . . 5 |- ( E. x A. y ( ph -> y e. x ) <-> E. z A. y ( ph -> y e. z ) )
6	1, 5	mpbi 145	. . . 4 |- E. z A. y ( ph -> y e. z )
7		ax-sep 4178	. . . 4 |- E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) )
8	6, 7	pm3.2i 272	. . 3 |- ( E. z A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
9	8	exan 1717	. 2 |- E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
10		19.42v 1931	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) <-> ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) )
11		bimsc1 966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> y e. z ) /\ ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> ( y e. x <-> ph ) )
12	11	alanimi 1483	. . . . 5 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> A. y ( y e. x <-> ph ) )
13	12	eximi 1624	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
14	10, 13	sylbir 135	. . 3 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
15	14	exlimiv 1622	. 2 |- ( E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
16	9, 15	ax-mp 5	1 |- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-14 2181  ax-sep 4178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is referenced by:  axpow3  4237  vpwex  4239  zfpair2  4270  axun2  4500  uniex2  4501