Theorem bm1.3ii 4110

Description: Convert implication to equivalence using the Separation Scheme (Aussonderung) ax-sep 4107. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.3ii.1	|- E. x A. y ( ph -> y e. x )

Assertion

Ref	Expression
bm1.3ii	|- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Distinct variable groups:   ph, x   x, y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem bm1.3ii

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm1.3ii.1	. . . . 5 |- E. x A. y ( ph -> y e. x )
2		elequ2 2146	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
3	2	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( ph -> y e. x ) <-> ( ph -> y e. z ) ) )
4	3	albidv 1817	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y ( ph -> y e. x ) <-> A. y ( ph -> y e. z ) ) )
5	4	cbvexv 1911	. . . . 5 |- ( E. x A. y ( ph -> y e. x ) <-> E. z A. y ( ph -> y e. z ) )
6	1, 5	mpbi 144	. . . 4 |- E. z A. y ( ph -> y e. z )
7		ax-sep 4107	. . . 4 |- E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) )
8	6, 7	pm3.2i 270	. . 3 |- ( E. z A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
9	8	exan 1686	. 2 |- E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) )
10		19.42v 1899	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) <-> ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) )
11		bimsc1 958	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> y e. z ) /\ ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> ( y e. x <-> ph ) )
12	11	alanimi 1452	. . . . 5 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> A. y ( y e. x <-> ph ) )
13	12	eximi 1593	. . . 4 |- ( E. x ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
14	10, 13	sylbir 134	. . 3 |- ( ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
15	14	exlimiv 1591	. 2 |- ( E. z ( A. y ( ph -> y e. z ) /\ E. x A. y ( y e. x <-> ( y e. z /\ ph ) ) ) -> E. x A. y ( y e. x <-> ph ) )
16	9, 15	ax-mp 5	1 |- E. x A. y ( y e. x <-> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   E.wex 1485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-14 2144  ax-sep 4107

This theorem depends on definitions:  df-bi 116

This theorem is referenced by:  axpow3  4163  vpwex  4165  zfpair2  4195  axun2  4420  uniex2  4421