ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bm1.3ii Unicode version

Theorem bm1.3ii 3935
Description: Convert implication to equivalence using the Separation Scheme (Aussonderung) ax-sep 3932. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.3ii.1  |-  E. x A. y ( ph  ->  y  e.  x )
Assertion
Ref Expression
bm1.3ii  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )
Distinct variable groups:    ph, x    x, y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem bm1.3ii
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bm1.3ii.1 . . . . 5  |-  E. x A. y ( ph  ->  y  e.  x )
2 elequ2 1645 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
32imbi2d 228 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  y  e.  x )  <->  ( ph  ->  y  e.  z ) ) )
43albidv 1749 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( ph  ->  y  e.  x )  <->  A. y
( ph  ->  y  e.  z ) ) )
54cbvexv 1840 . . . . 5  |-  ( E. x A. y (
ph  ->  y  e.  x
)  <->  E. z A. y
( ph  ->  y  e.  z ) )
61, 5mpbi 143 . . . 4  |-  E. z A. y ( ph  ->  y  e.  z )
7 ax-sep 3932 . . . 4  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
)
86, 7pm3.2i 266 . . 3  |-  ( E. z A. y (
ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )
98exan 1626 . 2  |-  E. z
( A. y (
ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )
10 19.42v 1831 . . . 4  |-  ( E. x ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  <->  ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) ) )
11 bimsc1 907 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  y  e.  z )  /\  (
y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  (
y  e.  x  <->  ph ) )
1211alanimi 1391 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  A. y
( y  e.  x  <->  ph ) )
1312eximi 1534 . . . 4  |-  ( E. x ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
1410, 13sylbir 133 . . 3  |-  ( ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
1514exlimiv 1532 . 2  |-  ( E. z ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
169, 15ax-mp 7 1  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1285   E.wex 1424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-sep 3932
This theorem depends on definitions:  df-bi 115
This theorem is referenced by:  axpow3  3987  vpwex  3989  zfpair2  4011  axun2  4236  uniex2  4237
  Copyright terms: Public domain W3C validator