ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uniex2 Unicode version

Theorem uniex2 4353
Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set  x, its union  y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
uniex2  |-  E. y 
y  =  U. x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem uniex2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfun 4351 . . . 4  |-  E. y A. z ( E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
2 eluni 3734 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. x  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )
32imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <-> 
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
43albii 1446 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
54exbii 1584 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
61, 5mpbir 145 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )
76bm1.3ii 4044 . 2  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  z  e.  U. x )
8 dfcleq 2131 . . 3  |-  ( y  =  U. x  <->  A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
98exbii 1584 . 2  |-  ( E. y  y  =  U. x 
<->  E. y A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
107, 9mpbir 145 1  |-  E. y 
y  =  U. x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   U.cuni 3731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-un 4350
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-uni 3732
This theorem is referenced by:  uniex  4354
  Copyright terms: Public domain W3C validator