Theorem uniex2 4414

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfun 4412	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
2		eluni 3792	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
3	2	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1458	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1593	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 145	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
7	6	bm1.3ii 4103	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
8		dfcleq 2159	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
9	8	exbii 1593	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
10	7, 9	mpbir 145	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   U.cuni 3789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-uni 3790

This theorem is referenced by:  uniex  4415