Theorem uniex2 4435

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfun 4433	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
2		eluni 3812	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
3	2	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1470	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
7	6	bm1.3ii 4123	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
8		dfcleq 2171	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
9	8	exbii 1605	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
10	7, 9	mpbir 146	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   U.cuni 3809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-uni 3810

This theorem is referenced by:  uniex  4436