Theorem uniex2 4467

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfun 4465	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
2		eluni 3838	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
3	2	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1481	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 146	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
7	6	bm1.3ii 4150	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
8		dfcleq 2187	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
9	8	exbii 1616	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
10	7, 9	mpbir 146	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   U.cuni 3835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  uniex  4468