ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uniex2 Unicode version

Theorem uniex2 4239
Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set  x, its union  y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
uniex2  |-  E. y 
y  =  U. x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem uniex2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfun 4237 . . . 4  |-  E. y A. z ( E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
2 eluni 3641 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. x  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )
32imbi1i 236 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <-> 
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
43albii 1402 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
54exbii 1539 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
61, 5mpbir 144 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )
76bm1.3ii 3937 . 2  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  z  e.  U. x )
8 dfcleq 2079 . . 3  |-  ( y  =  U. x  <->  A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
98exbii 1539 . 2  |-  ( E. y  y  =  U. x 
<->  E. y A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
107, 9mpbir 144 1  |-  E. y 
y  =  U. x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1285    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   U.cuni 3638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-un 4236
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-v 2617  df-uni 3639
This theorem is referenced by:  uniex  4240
  Copyright terms: Public domain W3C validator