Theorem zfpair2 4204

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 4203. (Contributed by NM, 14-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- { x , y } e. _V

Proof of Theorem zfpair2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 4203	. . . 4 |- E. z A. w ( ( w = x \/ w = y ) -> w e. z )
2	1	bm1.3ii 4119	. . 3 |- E. z A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) )
3		dfcleq 2169	. . . . 5 |- ( z = { x , y } <-> A. w ( w e. z <-> w e. { x , y } ) )
4		vex 2738	. . . . . . . 8 |- w e. _V
5	4	elpr 3610	. . . . . . 7 |- ( w e. { x , y } <-> ( w = x \/ w = y ) )
6	5	bibi2i 227	. . . . . 6 |- ( ( w e. z <-> w e. { x , y } ) <-> ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
7	6	albii 1468	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. z <-> w e. { x , y } ) <-> A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
8	3, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( z = { x , y } <-> A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
9	8	exbii 1603	. . 3 |- ( E. z z = { x , y } <-> E. z A. w ( w e. z <-> ( w = x \/ w = y ) ) )
10	2, 9	mpbir 146	. 2 |- E. z z = { x , y }
11	10	issetri 2744	1 |- { x , y } e. _V

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   {cpr 3590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-v 2737  df-un 3131  df-sn 3595  df-pr 3596

This theorem is referenced by:  prexg  4205  onintexmid  4566  funopg  5242