Theorem dfnul3 3417

Description: Alternate definition of the empty set. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul3	|- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Proof of Theorem dfnul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equid 1694	. . . . 5 |- x = x
2	1	notnoti 640	. . . 4 |- -. -. x = x
3		pm3.24 688	. . . 4 |- -. ( x e. A /\ -. x e. A )
4	2, 3	2false 696	. . 3 |- ( -. x = x <-> ( x e. A /\ -. x e. A ) )
5	4	abbii 2286	. 2 |- { x | -. x = x } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
6		dfnul2 3416	. 2 |- (/) = { x | -. x = x }
7		df-rab 2457	. 2 |- { x e. A | -. x e. A } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2201	1 |- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   {crab 2452   (/)c0 3414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415

This theorem is referenced by:  difidALT  3484