Theorem dfnul3 3407

Description: Alternate definition of the empty set. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul3	|- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Proof of Theorem dfnul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equid 1688	. . . . 5 |- x = x
2	1	notnoti 635	. . . 4 |- -. -. x = x
3		pm3.24 683	. . . 4 |- -. ( x e. A /\ -. x e. A )
4	2, 3	2false 691	. . 3 |- ( -. x = x <-> ( x e. A /\ -. x e. A ) )
5	4	abbii 2280	. 2 |- { x | -. x = x } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
6		dfnul2 3406	. 2 |- (/) = { x | -. x = x }
7		df-rab 2451	. 2 |- { x e. A | -. x e. A } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2195	1 |- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   {cab 2150   {crab 2446   (/)c0 3404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-nul 3405

This theorem is referenced by:  difidALT  3473