Theorem dfnul3 3437

Description: Alternate definition of the empty set. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul3	|- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Proof of Theorem dfnul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equid 1711	. . . . 5 |- x = x
2	1	notnoti 646	. . . 4 |- -. -. x = x
3		pm3.24 694	. . . 4 |- -. ( x e. A /\ -. x e. A )
4	2, 3	2false 702	. . 3 |- ( -. x = x <-> ( x e. A /\ -. x e. A ) )
5	4	abbii 2303	. 2 |- { x | -. x = x } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
6		dfnul2 3436	. 2 |- (/) = { x | -. x = x }
7		df-rab 2474	. 2 |- { x e. A | -. x e. A } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2218	1 |- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   {cab 2173   {crab 2469   (/)c0 3434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-nul 3435

This theorem is referenced by:  difidALT  3504