Theorem dfnul3 3313

Description: Alternate definition of the empty set. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul3	|- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Proof of Theorem dfnul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equid 1645	. . . . 5 |- x = x
2	1	notnoti 614	. . . 4 |- -. -. x = x
3		pm3.24 668	. . . 4 |- -. ( x e. A /\ -. x e. A )
4	2, 3	2false 658	. . 3 |- ( -. x = x <-> ( x e. A /\ -. x e. A ) )
5	4	abbii 2215	. 2 |- { x | -. x = x } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
6		dfnul2 3312	. 2 |- (/) = { x | -. x = x }
7		df-rab 2384	. 2 |- { x e. A | -. x e. A } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2130	1 |- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448   {cab 2086   {crab 2379   (/)c0 3310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-nul 3311

This theorem is referenced by:  difidALT  3379