Theorem dfnul3 3463

Description: Alternate definition of the empty set. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul3	|- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Proof of Theorem dfnul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equid 1724	. . . . 5 |- x = x
2	1	notnoti 646	. . . 4 |- -. -. x = x
3		pm3.24 695	. . . 4 |- -. ( x e. A /\ -. x e. A )
4	2, 3	2false 703	. . 3 |- ( -. x = x <-> ( x e. A /\ -. x e. A ) )
5	4	abbii 2321	. 2 |- { x | -. x = x } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
6		dfnul2 3462	. 2 |- (/) = { x | -. x = x }
7		df-rab 2493	. 2 |- { x e. A | -. x e. A } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2236	1 |- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   {crab 2488   (/)c0 3460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-nul 3461

This theorem is referenced by:  difidALT  3530