Theorem noel 3525

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	|- -. A e. (/)

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3351	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> A e. _V )
2		eldifn 3352	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> -. A e. _V )
3	1, 2	pm2.65i 648	. 2 |- -. A e. ( _V \ _V )
4		df-nul 3521	. . 3 |- (/) = ( _V \ _V )
5	4	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. (/) <-> A e. ( _V \ _V ) )
6	3, 5	mtbir 682	1 |- -. A e. (/)

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   (/)c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is used by:  nel02  3526  n0i  3527  n0rf  3534  rex0  3539  eq0  3540  abvor0dc  3545  rab0  3551  un0  3556  in0  3557  0ss  3561  disj  3573  ral0  3629  rabsnifsb  3777  rabsnif  3778  int0  3984  iun0  4069  0iun  4070  sn0disj  4127  br0  4180  exmid01  4337  nlim0  4541  nsuceq0g  4565  ordtriexmidlem  4668  ordtriexmidlem2  4669  ordtriexmid  4670  ontriexmidim  4671  ordtri2or2exmidlem  4675  onsucelsucexmidlem  4678  reg2exmidlema  4683  reg3exmidlemwe  4728  nn0eln0  4769  0xp  4857  dm0  4997  dm0rn0  5000  reldm0  5001  cnv0  5194  co02  5304  relndmfv  5731  0fv  5737  acexmidlema  6079  acexmidlemb  6080  acexmidlemab  6082  mpo0  6161  nnsucelsuc  6768  nnsucuniel  6772  nnmordi  6793  nnaordex  6805  0er  6845  elssdc  7213  fissfi  7267  fidcenumlemrk  7276  nnnninfeq  7474  iftrueb01  7588  pw1if  7590  elni2  7687  nlt1pig  7714  0npr  7856  indval0  9306  indconst0  9311  fzm1  10524  frec2uzltd  10861  0tonninf  10898  hashf1lem2  11308  sum0  12180  fsumsplit  12199  sumsplitdc  12224  fsum2dlemstep  12226  prod0  12377  fprod2dlemstep  12414  ballotfilemcdc  13281  ennnfonelem1  13356  0g0  13755  gsumsnfdcmn  14257  0ntop  15233  0met  15610  ppiublem2  16292  lgsdir2lem3  16354  vtxdg0v  16740  clwwlkn0  16854  clwwlknnn  16858  clwwlk0on0  16877  eupth2lem1  16904  eupth2lem3lem4fi  16919  bdcnul  17096  bj-nnelirr  17184  nnnninfex  17271