Theorem noel 3525

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	|- -. A e. (/)

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3351	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> A e. _V )
2		eldifn 3352	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> -. A e. _V )
3	1, 2	pm2.65i 648	. 2 |- -. A e. ( _V \ _V )
4		df-nul 3521	. . 3 |- (/) = ( _V \ _V )
5	4	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. (/) <-> A e. ( _V \ _V ) )
6	3, 5	mtbir 682	1 |- -. A e. (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   (/)c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  nel02  3526  n0i  3527  n0rf  3534  rex0  3539  eq0  3540  abvor0dc  3545  rab0  3551  un0  3556  in0  3557  0ss  3561  disj  3573  ral0  3629  rabsnifsb  3776  rabsnif  3777  int0  3982  iun0  4067  0iun  4068  br0  4177  exmid01  4333  nlim0  4537  nsuceq0g  4561  ordtriexmidlem  4664  ordtriexmidlem2  4665  ordtriexmid  4666  ontriexmidim  4667  ordtri2or2exmidlem  4671  onsucelsucexmidlem  4674  reg2exmidlema  4679  reg3exmidlemwe  4724  nn0eln0  4765  0xp  4853  dm0  4993  dm0rn0  4996  reldm0  4997  cnv0  5189  co02  5299  0fv  5731  acexmidlema  6069  acexmidlemb  6070  acexmidlemab  6072  mpo0  6151  nnsucelsuc  6757  nnsucuniel  6761  nnmordi  6782  nnaordex  6794  0er  6834  elssdc  7202  fissfi  7256  fidcenumlemrk  7264  nnnninfeq  7461  iftrueb01  7575  pw1if  7577  elni2  7674  nlt1pig  7701  0npr  7843  fzm1  10488  frec2uzltd  10821  0tonninf  10858  hashf1lem2  11267  sum0  12136  fsumsplit  12155  sumsplitdc  12180  fsum2dlemstep  12182  prod0  12333  fprod2dlemstep  12370  ballotfilemcdc  13204  ennnfonelem1  13279  0g0  13676  0ntop  15034  0met  15411  lgsdir2lem3  16066  vtxdg0v  16452  clwwlkn0  16566  clwwlknnn  16570  clwwlk0on0  16589  eupth2lem1  16616  eupth2lem3lem4fi  16631  bdcnul  16808  bj-nnelirr  16896  nnnninfex  16973