Theorem noel 3464

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	|- -. A e. (/)

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3295	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> A e. _V )
2		eldifn 3296	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> -. A e. _V )
3	1, 2	pm2.65i 640	. 2 |- -. A e. ( _V \ _V )
4		df-nul 3461	. . 3 |- (/) = ( _V \ _V )
5	4	eleq2i 2272	. 2 |- ( A e. (/) <-> A e. ( _V \ _V ) )
6	3, 5	mtbir 673	1 |- -. A e. (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   (/)c0 3460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-nul 3461

This theorem is referenced by:  nel02  3465  n0i  3466  n0rf  3473  rex0  3478  eq0  3479  abvor0dc  3484  rab0  3489  un0  3494  in0  3495  0ss  3499  disj  3509  ral0  3562  int0  3899  iun0  3984  0iun  3985  br0  4093  exmid01  4243  nlim0  4442  nsuceq0g  4466  ordtriexmidlem  4568  ordtriexmidlem2  4569  ordtriexmid  4570  ontriexmidim  4571  ordtri2or2exmidlem  4575  onsucelsucexmidlem  4578  reg2exmidlema  4583  reg3exmidlemwe  4628  nn0eln0  4669  0xp  4756  dm0  4893  dm0rn0  4896  reldm0  4897  cnv0  5087  co02  5197  0fv  5614  acexmidlema  5937  acexmidlemb  5938  acexmidlemab  5940  mpo0  6017  nnsucelsuc  6579  nnsucuniel  6583  nnmordi  6604  nnaordex  6616  0er  6656  fidcenumlemrk  7058  nnnninfeq  7232  elni2  7429  nlt1pig  7456  0npr  7598  fzm1  10224  frec2uzltd  10550  0tonninf  10587  sum0  11732  fsumsplit  11751  sumsplitdc  11776  fsum2dlemstep  11778  prod0  11929  fprod2dlemstep  11966  ennnfonelem1  12811  0g0  13241  0ntop  14512  0met  14889  lgsdir2lem3  15540  if0ab  15778  bdcnul  15838  bj-nnelirr  15926  nnnninfex  15996