Theorem noel 3525

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	|- -. A e. (/)

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3351	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> A e. _V )
2		eldifn 3352	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> -. A e. _V )
3	1, 2	pm2.65i 648	. 2 |- -. A e. ( _V \ _V )
4		df-nul 3521	. . 3 |- (/) = ( _V \ _V )
5	4	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. (/) <-> A e. ( _V \ _V ) )
6	3, 5	mtbir 682	1 |- -. A e. (/)

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   (/)c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is used by:  nel02  3526  n0i  3527  n0rf  3534  rex0  3539  eq0  3540  abvor0dc  3545  rab0  3551  un0  3556  in0  3557  0ss  3561  disj  3573  ral0  3629  rabsnifsb  3777  rabsnif  3778  int0  3984  iun0  4069  0iun  4070  br0  4179  exmid01  4335  nlim0  4539  nsuceq0g  4563  ordtriexmidlem  4666  ordtriexmidlem2  4667  ordtriexmid  4668  ontriexmidim  4669  ordtri2or2exmidlem  4673  onsucelsucexmidlem  4676  reg2exmidlema  4681  reg3exmidlemwe  4726  nn0eln0  4767  0xp  4855  dm0  4995  dm0rn0  4998  reldm0  4999  cnv0  5191  co02  5301  relndmfv  5728  0fv  5734  acexmidlema  6076  acexmidlemb  6077  acexmidlemab  6079  mpo0  6158  nnsucelsuc  6764  nnsucuniel  6768  nnmordi  6789  nnaordex  6801  0er  6841  elssdc  7209  fissfi  7263  fidcenumlemrk  7271  nnnninfeq  7468  iftrueb01  7582  pw1if  7584  elni2  7681  nlt1pig  7708  0npr  7850  indval0  9299  indconst0  9304  fzm1  10517  frec2uzltd  10853  0tonninf  10890  hashf1lem2  11300  sum0  12171  fsumsplit  12190  sumsplitdc  12215  fsum2dlemstep  12217  prod0  12368  fprod2dlemstep  12405  ballotfilemcdc  13272  ennnfonelem1  13347  0g0  13745  0ntop  15157  0met  15534  ppiublem2  16193  lgsdir2lem3  16247  vtxdg0v  16633  clwwlkn0  16747  clwwlknnn  16751  clwwlk0on0  16770  eupth2lem1  16797  eupth2lem3lem4fi  16812  bdcnul  16989  bj-nnelirr  17077  nnnninfex  17163