Theorem noel 3464

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	|- -. A e. (/)

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3295	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> A e. _V )
2		eldifn 3296	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> -. A e. _V )
3	1, 2	pm2.65i 640	. 2 |- -. A e. ( _V \ _V )
4		df-nul 3461	. . 3 |- (/) = ( _V \ _V )
5	4	eleq2i 2272	. 2 |- ( A e. (/) <-> A e. ( _V \ _V ) )
6	3, 5	mtbir 673	1 |- -. A e. (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   (/)c0 3460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-nul 3461

This theorem is referenced by:  nel02  3465  n0i  3466  n0rf  3473  rex0  3478  eq0  3479  abvor0dc  3484  rab0  3489  un0  3494  in0  3495  0ss  3499  disj  3509  ral0  3562  int0  3899  iun0  3984  0iun  3985  br0  4092  exmid01  4242  nlim0  4441  nsuceq0g  4465  ordtriexmidlem  4567  ordtriexmidlem2  4568  ordtriexmid  4569  ontriexmidim  4570  ordtri2or2exmidlem  4574  onsucelsucexmidlem  4577  reg2exmidlema  4582  reg3exmidlemwe  4627  nn0eln0  4668  0xp  4755  dm0  4892  dm0rn0  4895  reldm0  4896  cnv0  5086  co02  5196  0fv  5612  acexmidlema  5935  acexmidlemb  5936  acexmidlemab  5938  mpo0  6015  nnsucelsuc  6577  nnsucuniel  6581  nnmordi  6602  nnaordex  6614  0er  6654  fidcenumlemrk  7056  nnnninfeq  7230  elni2  7427  nlt1pig  7454  0npr  7596  fzm1  10222  frec2uzltd  10548  0tonninf  10585  sum0  11699  fsumsplit  11718  sumsplitdc  11743  fsum2dlemstep  11745  prod0  11896  fprod2dlemstep  11933  ennnfonelem1  12778  0g0  13208  0ntop  14479  0met  14856  lgsdir2lem3  15507  if0ab  15741  bdcnul  15801  bj-nnelirr  15889  nnnninfex  15959