Theorem noel 3372

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	|- -. A e. (/)

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3203	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> A e. _V )
2		eldifn 3204	. . 3 |- ( A e. ( _V \ _V ) -> -. A e. _V )
3	1, 2	pm2.65i 629	. 2 |- -. A e. ( _V \ _V )
4		df-nul 3369	. . 3 |- (/) = ( _V \ _V )
5	4	eleq2i 2207	. 2 |- ( A e. (/) <-> A e. ( _V \ _V ) )
6	3, 5	mtbir 661	1 |- -. A e. (/)

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   (/)c0 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369

This theorem is referenced by:  n0i  3373  n0rf  3380  rex0  3385  eq0  3386  abvor0dc  3391  rab0  3396  un0  3401  in0  3402  0ss  3406  disj  3416  ral0  3469  int0  3793  iun0  3877  0iun  3878  br0  3984  exmid01  4129  nlim0  4324  nsuceq0g  4348  ordtriexmidlem  4443  ordtriexmidlem2  4444  ordtriexmid  4445  ordtri2or2exmidlem  4449  onsucelsucexmidlem  4452  reg2exmidlema  4457  reg3exmidlemwe  4501  nn0eln0  4541  0xp  4627  dm0  4761  dm0rn0  4764  reldm0  4765  cnv0  4950  co02  5060  0fv  5464  acexmidlema  5773  acexmidlemb  5774  acexmidlemab  5776  mpo0  5849  nnsucelsuc  6395  nnsucuniel  6399  nnmordi  6420  nnaordex  6431  0er  6471  fidcenumlemrk  6850  elni2  7146  nlt1pig  7173  0npr  7315  fzm1  9911  frec2uzltd  10207  0tonninf  10243  sum0  11189  fsumsplit  11208  sumsplitdc  11233  fsum2dlemstep  11235  ennnfonelem1  11956  0ntop  12213  0met  12592  bdcnul  13234  bj-nnelirr  13322  nninfalllemn  13377