ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0enq Unicode version
Theorem enq0enq 7393
Description: Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0enq |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Proof of Theorem enq0enq
Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 7386 . . 3 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2 df-xp 4617 . . 3 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) }
31, 2ineq12i 3326 . 2 |- ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } )
4 inopab 4743 . 2 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) }
5 an32 557 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
6 an4 581 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
7 pinn 7271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. N. -> x e. om )
87ssriv 3151 . . . . . . . . . . . 12 |- N. C_ om
9 xpss1 4721 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N. C_ om -> ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. )
1110sseli 3143 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. ( om X. N. ) )
1211pm4.71ri 390 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) )
1310sseli 3143 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( N. X. N. ) -> y e. ( om X. N. ) )
1413pm4.71ri 390 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1512, 14anbi12i 457 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
166, 15bitr4i 186 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1716anbi1i 455 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
185, 17bitri 183 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
19 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> <. z , w >. e. ( N. X. N. ) ) )
20 opelxp 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. z , w >. e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
2119, 20bitrdi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) ) )
22 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> <. v , u >. e. ( N. X. N. ) ) )
23 opelxp 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. v , u >. e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
2422, 23bitrdi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
2521, 24bi2anan9 601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2625pm5.32i 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2726anbi1i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28 anass 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
2927, 28bitri 183 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30 mulpiord 7279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
31 mulpiord 7279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
3230, 31eqeqan12d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3332an42s 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3433pm5.32i 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3534anbi2i 454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
3629, 35bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
37 anass 399 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
3836, 37bitr4i 186 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
3926anbi1i 455 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4038, 39bitr4i 186 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
41 ancom 264 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
4241anbi1i 455 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
4341anbi1i 455 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4440, 42, 433bitr3i 209 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
45 anass 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
46 anass 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
4744, 45, 463bitr3i 209 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
48472exbii 1599 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
49 19.42vv 1904 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50 19.42vv 1904 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5148, 49, 503bitr3i 209 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
52512exbii 1599 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
53 19.42vv 1904 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
54 19.42vv 1904 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5552, 53, 543bitr3i 209 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5618, 55bitri 183 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5756opabbii 4056 . . 3 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
58 df-enq 7309 . . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5957, 58eqtr4i 2194 . 2 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = ~Q
603, 4, 593eqtrri 2196 1 |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   i^i cin 3120   C_ wss 3121   <.cop 3586   {copab 4049   omcom 4574   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   .o comu 6393   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   ~Q ceq 7241   ~Q0 ceq0 7248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-res 4623  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq 7309  df-enq0 7386
This theorem is referenced by:  nqnq0pi  7400
  Copyright terms: Public domain W3C validator