ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0enq Unicode version

Theorem enq0enq 6990
Description: Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0enq  |-  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )

Proof of Theorem enq0enq
Dummy variables  v  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 6983 . . 3  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
2 df-xp 4444 . . 3  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) }
31, 2ineq12i 3199 . 2  |-  ( ~Q0  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) } )
4 inopab 4568 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) }
5 an32 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
6 an4 553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  <->  ( (
x  e.  ( om 
X.  N. )  /\  x  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
7 pinn 6868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
87ssriv 3029 . . . . . . . . . . . 12  |-  N.  C_  om
9 xpss1 4548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N.  C_  om  ->  ( N.  X.  N. )  C_  ( om  X.  N. ) )
108, 9ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  ( om  X.  N. )
1110sseli 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  e.  ( om  X.  N. ) )
1211pm4.71ri 384 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  <->  ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  x  e.  ( N.  X.  N. )
) )
1310sseli 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  ->  y  e.  ( om  X.  N. ) )
1413pm4.71ri 384 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  <->  ( y  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )
1512, 14anbi12i 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  <->  ( (
x  e.  ( om 
X.  N. )  /\  x  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
166, 15bitr4i 185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )
1716anbi1i 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
185, 17bitri 182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
19 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( x  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
20 opelxp 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)
2119, 20syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( x  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
) )
22 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. v ,  u >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
23 opelxp 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
v ,  u >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)
2422, 23syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
2521, 24bi2anan9 573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  <->  ( (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
2625pm5.32i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
2726anbi1i 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
28 anass 393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2927, 28bitri 182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
30 mulpiord 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  =  ( z  .o  u ) )
31 mulpiord 6876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  =  ( w  .o  v ) )
3230, 31eqeqan12d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v )  <->  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
3332an42s 556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v )  <->  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
3433pm5.32i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) )  <->  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
3534anbi2i 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
3629, 35bitr4i 185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) ) )
37 anass 393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) ) )
3836, 37bitr4i 185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
3926anbi1i 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
4038, 39bitr4i 185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) )
41 ancom 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
4241anbi1i 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
4341anbi1i 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
4440, 42, 433bitr3i 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
45 anass 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
46 anass 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
4744, 45, 463bitr3i 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
48472exbii 1542 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. u ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  E. v E. u
( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
49 19.42vv 1836 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. u ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
50 19.42vv 1836 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. u ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
5148, 49, 503bitr3i 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
52512exbii 1542 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  E. z E. w
( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
53 19.42vv 1836 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
54 19.42vv 1836 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
5552, 53, 543bitr3i 208 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
5618, 55bitri 182 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
5756opabbii 3905 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }
58 df-enq 6906 . . 3  |-  ~Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }
5957, 58eqtr4i 2111 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) }  =  ~Q
603, 4, 593eqtrri 2113 1  |-  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438    i^i cin 2998    C_ wss 2999   <.cop 3449   {copab 3898   omcom 4405    X. cxp 4436  (class class class)co 5652    .o comu 6179   N.cnpi 6831    .N cmi 6833    ~Q ceq 6838   ~Q0 ceq0 6845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-res 4450  df-iota 4980  df-fv 5023  df-ov 5655  df-ni 6863  df-mi 6865  df-enq 6906  df-enq0 6983
This theorem is referenced by:  nqnq0pi  6997
  Copyright terms: Public domain W3C validator