ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0enq Unicode version

Theorem enq0enq 7203
Description: Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0enq  |-  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )

Proof of Theorem enq0enq
Dummy variables  v  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 7196 . . 3  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
2 df-xp 4513 . . 3  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) }
31, 2ineq12i 3243 . 2  |-  ( ~Q0  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) } )
4 inopab 4639 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) } )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) }
5 an32 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
6 an4 558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  <->  ( (
x  e.  ( om 
X.  N. )  /\  x  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
7 pinn 7081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
87ssriv 3069 . . . . . . . . . . . 12  |-  N.  C_  om
9 xpss1 4617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N.  C_  om  ->  ( N.  X.  N. )  C_  ( om  X.  N. ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N. 
X.  N. )  C_  ( om  X.  N. )
1110sseli 3061 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  x  e.  ( om  X.  N. ) )
1211pm4.71ri 387 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  <->  ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  x  e.  ( N.  X.  N. )
) )
1310sseli 3061 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  ->  y  e.  ( om  X.  N. ) )
1413pm4.71ri 387 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( N.  X.  N. )  <->  ( y  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )
1512, 14anbi12i 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  <->  ( (
x  e.  ( om 
X.  N. )  /\  x  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
166, 15bitr4i 186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  <->  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )
1716anbi1i 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
185, 17bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
19 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( x  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
20 opelxp 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)
2119, 20syl6bb 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( x  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
) )
22 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. v ,  u >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
23 opelxp 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
v ,  u >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)
2422, 23syl6bb 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )
2521, 24bi2anan9 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  <->  ( (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
2625pm5.32i 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) ) )
2726anbi1i 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
28 anass 396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
2927, 28bitri 183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
30 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  =  ( z  .o  u ) )
31 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  =  ( w  .o  v ) )
3230, 31eqeqan12d 2131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v )  <->  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
3332an42s 561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v )  <->  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
3433pm5.32i 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) )  <->  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
3534anbi2i 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) ) )
3629, 35bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) ) )
37 anass 396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) )  <->  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) ) )
3836, 37bitr4i 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
3926anbi1i 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
4038, 39bitr4i 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) )
41 ancom 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
4241anbi1i 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) ) )
4341anbi1i 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
4440, 42, 433bitr3i 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) )  /\  (
z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) ) )
45 anass 396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
46 anass 396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
4744, 45, 463bitr3i 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
48472exbii 1568 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. u ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  E. v E. u
( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( (
x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
49 19.42vv 1863 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. u ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
50 19.42vv 1863 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. u ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
5148, 49, 503bitr3i 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u )  =  ( w  .N  v
) ) ) )
52512exbii 1568 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  E. z E. w
( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
53 19.42vv 1863 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
54 19.42vv 1863 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
5552, 53, 543bitr3i 209 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
5618, 55bitri 183 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  <->  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) )
5756opabbii 3963 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }
58 df-enq 7119 . . 3  |-  ~Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }
5957, 58eqtr4i 2139 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  /\  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) }  =  ~Q
603, 4, 593eqtrri 2141 1  |-  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    i^i cin 3038    C_ wss 3039   <.cop 3498   {copab 3956   omcom 4472    X. cxp 4505  (class class class)co 5740    .o comu 6277   N.cnpi 7044    .N cmi 7046    ~Q ceq 7051   ~Q0 ceq0 7058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-rel 4514  df-res 4519  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743  df-ni 7076  df-mi 7078  df-enq 7119  df-enq0 7196
This theorem is referenced by:  nqnq0pi  7210
  Copyright terms: Public domain W3C validator