ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0enq Unicode version
Theorem enq0enq 7798
Description: Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0enq |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Proof of Theorem enq0enq
Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 7791 . . 3 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2 df-xp 4780 . . 3 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) }
31, 2ineq12i 3430 . 2 |- ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } )
4 inopab 4912 . 2 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) }
5 an32 568 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
6 an4 592 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
7 pinn 7676 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. N. -> x e. om )
87ssriv 3252 . . . . . . . . . . . 12 |- N. C_ om
9 xpss1 4885 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N. C_ om -> ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. )
1110sseli 3244 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. ( om X. N. ) )
1211pm4.71ri 396 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) )
1310sseli 3244 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( N. X. N. ) -> y e. ( om X. N. ) )
1413pm4.71ri 396 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1512, 14anbi12i 464 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
166, 15bitr4i 187 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1716anbi1i 462 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
185, 17bitri 184 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
19 eleq1 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> <. z , w >. e. ( N. X. N. ) ) )
20 opelxp 4804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. z , w >. e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
2119, 20bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) ) )
22 eleq1 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> <. v , u >. e. ( N. X. N. ) ) )
23 opelxp 4804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. v , u >. e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
2422, 23bitrdi 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
2521, 24bi2anan9 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2625pm5.32i 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2726anbi1i 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28 anass 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
2927, 28bitri 184 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30 mulpiord 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
31 mulpiord 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
3230, 31eqeqan12d 2254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3332an42s 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3433pm5.32i 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3534anbi2i 461 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
3629, 35bitr4i 187 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
37 anass 405 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
3836, 37bitr4i 187 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
3926anbi1i 462 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4038, 39bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
41 ancom 266 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
4241anbi1i 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
4341anbi1i 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4440, 42, 433bitr3i 210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
45 anass 405 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
46 anass 405 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
4744, 45, 463bitr3i 210 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
48472exbii 1659 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
49 19.42vv 1967 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50 19.42vv 1967 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5148, 49, 503bitr3i 210 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
52512exbii 1659 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
53 19.42vv 1967 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
54 19.42vv 1967 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5552, 53, 543bitr3i 210 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5618, 55bitri 184 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5756opabbii 4198 . . 3 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
58 df-enq 7714 . . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5957, 58eqtr4i 2262 . 2 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = ~Q
603, 4, 593eqtrri 2264 1 |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   i^i cin 3219   C_ wss 3220   <.cop 3712   {copab 4191   omcom 4737   X. cxp 4772  (class class class)co 6085   .o comu 6685   N.cnpi 7639   .N cmi 7641   ~Q ceq 7646   ~Q0 ceq0 7653
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-res 4786  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-ni 7671  df-mi 7673  df-enq 7714  df-enq0 7791
This theorem is used by:  nqnq0pi  7805
  Copyright terms: Public domain W3C validator