ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0enq Unicode version
Theorem enq0enq 7372
Description: Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0enq |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Proof of Theorem enq0enq
Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 7365 . . 3 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
2 df-xp 4610 . . 3 |- ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) = { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) }
31, 2ineq12i 3321 . 2 |- ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } )
4 inopab 4736 . 2 |- ( { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) }
5 an32 552 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
6 an4 576 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
7 pinn 7250 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. N. -> x e. om )
87ssriv 3146 . . . . . . . . . . . 12 |- N. C_ om
9 xpss1 4714 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N. C_ om -> ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( N. X. N. ) C_ ( om X. N. )
1110sseli 3138 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> x e. ( om X. N. ) )
1211pm4.71ri 390 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) )
1310sseli 3138 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( N. X. N. ) -> y e. ( om X. N. ) )
1413pm4.71ri 390 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1512, 14anbi12i 456 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ x e. ( N. X. N. ) ) /\ ( y e. ( om X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) )
166, 15bitr4i 186 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) )
1716anbi1i 454 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
185, 17bitri 183 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
19 eleq1 2229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> <. z , w >. e. ( N. X. N. ) ) )
20 opelxp 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. z , w >. e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) )
2119, 20bitrdi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ( x e. ( N. X. N. ) <-> ( z e. N. /\ w e. N. ) ) )
22 eleq1 2229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> <. v , u >. e. ( N. X. N. ) ) )
23 opelxp 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. v , u >. e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) )
2422, 23bitrdi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ( y e. ( N. X. N. ) <-> ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
2521, 24bi2anan9 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2625pm5.32i 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
2726anbi1i 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28 anass 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
2927, 28bitri 183 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30 mulpiord 7258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) = ( z .o u ) )
31 mulpiord 7258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) = ( w .o v ) )
3230, 31eqeqan12d 2181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3332an42s 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) = ( w .N v ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3433pm5.32i 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
3534anbi2i 453 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
3629, 35bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
37 anass 399 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
3836, 37bitr4i 186 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
3926anbi1i 454 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4038, 39bitr4i 186 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
41 ancom 264 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
4241anbi1i 454 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
4341anbi1i 454 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
4440, 42, 433bitr3i 209 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) )
45 anass 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
46 anass 399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
4744, 45, 463bitr3i 209 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
48472exbii 1594 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
49 19.42vv 1899 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50 19.42vv 1899 . . . . . . . 8 |- ( E. v E. u ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5148, 49, 503bitr3i 209 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
52512exbii 1594 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
53 19.42vv 1899 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
54 19.42vv 1899 . . . . . 6 |- ( E. z E. w ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5552, 53, 543bitr3i 209 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5618, 55bitri 183 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) <-> ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) )
5756opabbii 4049 . . 3 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
58 df-enq 7288 . . 3 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
5957, 58eqtr4i 2189 . 2 |- { <. x , y >. | ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) ) } = ~Q
603, 4, 593eqtrri 2191 1 |- ~Q = ( ~Q0 i^i ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   i^i cin 3115   C_ wss 3116   <.cop 3579   {copab 4042   omcom 4567   X. cxp 4602  (class class class)co 5842   .o comu 6382   N.cnpi 7213   .N cmi 7215   ~Q ceq 7220   ~Q0 ceq0 7227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-res 4616  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-ni 7245  df-mi 7247  df-enq 7288  df-enq0 7365
This theorem is referenced by:  nqnq0pi  7379
  Copyright terms: Public domain W3C validator