ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnnnq0 Unicode version

Theorem addnnnq0 6929
Description: Addition of non-negative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnnnq0  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem addnnnq0
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4435 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2 enq0ex 6919 . . . . 5  |- ~Q0  e.  _V
32ecelqsi 6279 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
41, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 opelxpi 4435 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
62ecelqsi 6279 . . . 4  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
84, 7anim12i 331 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
9 eqid 2085 . . . 4  |-  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0
10 eqid 2085 . . . 4  |-  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0
119, 10pm3.2i 266 . . 3  |-  ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
12 eqid 2085 . . 3  |-  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0
13 opeq12 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. w ,  v >.  =  <. A ,  B >. )
1413eceq1d 6261 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  )
1514eqeq2d 2096 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  <->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ) )
1615anbi1d 453 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  <->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
17 simpl 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  w  =  A )
1817oveq1d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( w  .o  D
)  =  ( A  .o  D ) )
19 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  v  =  B )
2019oveq1d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( v  .o  C
)  =  ( B  .o  C ) )
2118, 20oveq12d 5612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( w  .o  D )  +o  (
v  .o  C ) )  =  ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C ) ) )
2219oveq1d 5609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( v  .o  D
)  =  ( B  .o  D ) )
2321, 22opeq12d 3607 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. ( ( w  .o  D )  +o  (
v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >.  =  <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. )
2423eceq1d 6261 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  [ <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  )
2524eqeq2d 2096 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
2616, 25anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
2726spc2egv 2700 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
28 opeq12 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. u ,  t >.  =  <. C ,  D >. )
2928eceq1d 6261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
3029eqeq2d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  <->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) )
3130anbi2d 452 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
32 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  t  =  D )
3332oveq2d 5610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( w  .o  t
)  =  ( w  .o  D ) )
34 simpl 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  u  =  C )
3534oveq2d 5610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( v  .o  u
)  =  ( v  .o  C ) )
3633, 35oveq12d 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) )  =  ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C ) ) )
3732oveq2d 5610 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( v  .o  t
)  =  ( v  .o  D ) )
3836, 37opeq12d 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >.  =  <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. )
3938eceq1d 6261 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  )
4039eqeq2d 2096 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
4131, 40anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4241spc2egv 2700 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
43422eximdv 1807 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
4427, 43sylan9 401 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
4511, 12, 44mp2ani 423 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
46 ecexg 6229 . . . 4  |-  ( ~Q0  e.  _V  ->  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  e.  _V )
472, 46ax-mp 7 . . 3  |-  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V
48 simp1 941 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  )
4948eqeq1d 2093 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  <->  [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
50 simp2 942 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
5150eqeq1d 2093 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( y  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  <->  [
<. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) )
5249, 51anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( (
x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <-> 
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  ) ) )
53 simp3 943 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  z  =  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  )
5453eqeq1d 2093 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  <->  [
<. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
5552, 54anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( (
( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
56554exbidv 1795 . . . 4  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
57 addnq0mo 6927 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
58 dfplq0qs 6910 . . . 4  |- +Q0  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) }
5956, 57, 58ovig 5704 . . 3  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V )  -> 
( E. w E. v E. u E. t
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  ) )
6047, 59mp3an3 1260 . 2  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  ) )
618, 45, 60sylc 61 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 922    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   _Vcvv 2614   <.cop 3428   omcom 4371    X. cxp 4402  (class class class)co 5594    +o coa 6113    .o comu 6114   [cec 6223   /.cqs 6224   N.cnpi 6752   ~Q0 ceq0 6766   +Q0 cplq0 6769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-er 6225  df-ec 6227  df-qs 6231  df-ni 6784  df-mi 6786  df-enq0 6904  df-nq0 6905  df-plq0 6907
This theorem is referenced by:  addclnq0  6931  nqpnq0nq  6933  nqnq0a  6934  nq0a0  6937  nnanq0  6938  distrnq0  6939  addassnq0  6942
  Copyright terms: Public domain W3C validator