ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnnnq0 Unicode version

Theorem addnnnq0 7462
Description: Addition of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnnnq0  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem addnnnq0
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4670 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. ) )
2 enq0ex 7452 . . . . 5  |- ~Q0  e.  _V
32ecelqsi 6603 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
41, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
5 opelxpi 4670 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. ) )
62ecelqsi 6603 . . . 4  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
84, 7anim12i 338 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
9 eqid 2187 . . . 4  |-  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0
10 eqid 2187 . . . 4  |-  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0
119, 10pm3.2i 272 . . 3  |-  ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
12 eqid 2187 . . 3  |-  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0
13 opeq12 3792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. w ,  v >.  =  <. A ,  B >. )
1413eceq1d 6585 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  )
1514eqeq2d 2199 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  <->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  ) )
1615anbi1d 465 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  <->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
17 simpl 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  w  =  A )
1817oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( w  .o  D
)  =  ( A  .o  D ) )
19 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  v  =  B )
2019oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( v  .o  C
)  =  ( B  .o  C ) )
2118, 20oveq12d 5906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( w  .o  D )  +o  (
v  .o  C ) )  =  ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C ) ) )
2219oveq1d 5903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( v  .o  D
)  =  ( B  .o  D ) )
2321, 22opeq12d 3798 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  -> 
<. ( ( w  .o  D )  +o  (
v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >.  =  <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. )
2423eceq1d 6585 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  [ <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  )
2524eqeq2d 2199 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
2616, 25anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
2726spc2egv 2839 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
28 opeq12 3792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. u ,  t >.  =  <. C ,  D >. )
2928eceq1d 6585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
3029eqeq2d 2199 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  <->  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) )
3130anbi2d 464 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  ) ) )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  t  =  D )
3332oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( w  .o  t
)  =  ( w  .o  D ) )
34 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  u  =  C )
3534oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( v  .o  u
)  =  ( v  .o  C ) )
3633, 35oveq12d 5906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) )  =  ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C ) ) )
3732oveq2d 5904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( v  .o  t
)  =  ( v  .o  D ) )
3836, 37opeq12d 3798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  -> 
<. ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >.  =  <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. )
3938eceq1d 6585 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  )
4039eqeq2d 2199 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  <->  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( w  .o  D )  +o  ( v  .o  C
) ) ,  ( v  .o  D )
>. ] ~Q0  ) )
4131, 40anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  C  /\  t  =  D )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  ) ) )
4241spc2egv 2839 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
43422eximdv 1892 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  ->  ( E. w E. v ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  D
)  +o  ( v  .o  C ) ) ,  ( v  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
4427, 43sylan9 409 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( (
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
4511, 12, 44mp2ani 432 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  E. w E. v E. u E. t ( ( [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  )  /\  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
46 ecexg 6553 . . . 4  |-  ( ~Q0  e.  _V  ->  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  e.  _V )
472, 46ax-mp 5 . . 3  |-  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V
48 simp1 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  )
4948eqeq1d 2196 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( x  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  <->  [
<. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
50 simp2 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )
5150eqeq1d 2196 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( y  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  <->  [
<. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t
>. ] ~Q0  ) )
5249, 51anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( (
x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  <-> 
( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  ) ) )
53 simp3 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  z  =  [ <. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C
) ) ,  ( B  .o  D )
>. ] ~Q0  )
5453eqeq1d 2196 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  <->  [
<. ( ( A  .o  D )  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) )
5552, 54anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( (
( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
56554exbidv 1880 . . . 4  |-  ( ( x  =  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  /\  z  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  <->  E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) )
57 addnq0mo 7460 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  ( v  .o  u
) ) ,  ( v  .o  t )
>. ] ~Q0  ) )
58 dfplq0qs 7443 . . . 4  |- +Q0  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. t ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  t )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  ) ) }
5956, 57, 58ovig 6010 . . 3  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  e.  _V )  -> 
( E. w E. v E. u E. t
( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  ) )
6047, 59mp3an3 1336 . 2  |-  ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )  ->  ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  t >. ] ~Q0  )  /\  [ <. ( ( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( w  .o  t
)  +o  ( v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  t ) >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  ) )
618, 45, 60sylc 62 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] ~Q0 +Q0  [ <. C ,  D >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( A  .o  D
)  +o  ( B  .o  C ) ) ,  ( B  .o  D ) >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   _Vcvv 2749   <.cop 3607   omcom 4601    X. cxp 4636  (class class class)co 5888    +o coa 6428    .o comu 6429   [cec 6547   /.cqs 6548   N.cnpi 7285   ~Q0 ceq0 7299   +Q0 cplq0 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-plq0 7440
This theorem is referenced by:  addclnq0  7464  nqpnq0nq  7466  nqnq0a  7467  nq0a0  7470  nnanq0  7471  distrnq0  7472  addassnq0  7475
  Copyright terms: Public domain W3C validator