Theorem dfuni2 3900

Description: Alternate definition of class union. (Contributed by NM, 28-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dfuni2	|- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uni 3899	. 2 |- U. A = { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) }
2		exancom 1657	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
3		df-rex 2517	. . . 4 |- ( E. y e. A x e. y <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
4	2, 3	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y e. A x e. y )
5	4	abbii 2347	. 2 |- { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) } = { x | E. y e. A x e. y }
6	1, 5	eqtri 2252	1 |- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2512   U.cuni 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-rex 2517  df-uni 3899

This theorem is referenced by:  nfuni  3904  nfunid  3905  unieq  3907  uniiun  4029