Theorem dfuni2 3791

Description: Alternate definition of class union. (Contributed by NM, 28-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dfuni2	|- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uni 3790	. 2 |- U. A = { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) }
2		exancom 1596	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
3		df-rex 2450	. . . 4 |- ( E. y e. A x e. y <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y e. A x e. y )
5	4	abbii 2282	. 2 |- { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) } = { x | E. y e. A x e. y }
6	1, 5	eqtri 2186	1 |- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   U.cuni 3789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-rex 2450  df-uni 3790

This theorem is referenced by:  nfuni  3795  nfunid  3796  unieq  3798  uniiun  3919