Theorem dfuni2 3685

Description: Alternate definition of class union. (Contributed by NM, 28-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dfuni2	|- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uni 3684	. 2 |- U. A = { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) }
2		exancom 1555	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
3		df-rex 2381	. . . 4 |- ( E. y e. A x e. y <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y e. A x e. y )
5	4	abbii 2215	. 2 |- { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) } = { x | E. y e. A x e. y }
6	1, 5	eqtri 2120	1 |- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1299   E.wex 1436   e. wcel 1448   {cab 2086   E.wrex 2376   U.cuni 3683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-11 1452  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-rex 2381  df-uni 3684

This theorem is referenced by:  nfuni  3689  nfunid  3690  unieq  3692  uniiun  3813