Theorem dfuni2 3813

Description: Alternate definition of class union. (Contributed by NM, 28-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dfuni2	|- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uni 3812	. 2 |- U. A = { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) }
2		exancom 1608	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
3		df-rex 2461	. . . 4 |- ( E. y e. A x e. y <-> E. y ( y e. A /\ x e. y ) )
4	2, 3	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) <-> E. y e. A x e. y )
5	4	abbii 2293	. 2 |- { x | E. y ( x e. y /\ y e. A ) } = { x | E. y e. A x e. y }
6	1, 5	eqtri 2198	1 |- U. A = { x | E. y e. A x e. y }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   U.cuni 3811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-rex 2461  df-uni 3812

This theorem is referenced by:  nfuni  3817  nfunid  3818  unieq  3820  uniiun  3942