Theorem elfv 5412

Description: Membership in a function value. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elfv	|- ( A e. ( F ` B ) <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem elfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fv2 5409	. . 3 |- ( F ` B ) = U. { x | A. y ( B F y <-> y = x ) }
2	1	eleq2i 2204	. 2 |- ( A e. ( F ` B ) <-> A e. U. { x | A. y ( B F y <-> y = x ) } )
3		eluniab 3743	. 2 |- ( A e. U. { x | A. y ( B F y <-> y = x ) } <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. ( F ` B ) <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2123   U.cuni 3731   class class class wbr 3924   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-sn 3528  df-uni 3732  df-iota 5083  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  fv3  5437  relelfvdm  5446