Theorem fveq1 5689

Description: Equality theorem for function value. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
fveq1	|- ( F = G -> ( F ` A ) = ( G ` A ) )

Proof of Theorem fveq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq 4127	. . 3 |- ( F = G -> ( A F x <-> A G x ) )
2	1	iotabidv 5355	. 2 |- ( F = G -> ( iota x A F x ) = ( iota x A G x ) )
3		df-fv 5380	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
4		df-fv 5380	. 2 |- ( G ` A ) = ( iota x A G x )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 |- ( F = G -> ( F ` A ) = ( G ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4125   iotacio 5330   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-uni 3931  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fveq1i  5691  fveq1d  5692  fvmptdf  5787  fvmptdv2  5789  isoeq1  5997  oveq  6081  offval  6300  ofrfval  6301  offval3  6357  uchoice  6361  smoeq  6551  recseq  6567  tfr0dm  6583  tfrlemiex  6592  tfr1onlemex  6608  tfr1onlemaccex  6609  tfrcllemsucaccv  6615  tfrcllembxssdm  6617  tfrcllemex  6621  tfrcllemaccex  6622  tfrcllemres  6623  rdgeq1  6632  rdgivallem  6642  rdgon  6647  rdg0  6648  frec0g  6658  freccllem  6663  frecfcllem  6665  frecsuclem  6667  frecsuc  6668  mapsncnv  6967  elixp2  6974  elixpsn  7007  mapsnend  7089  mapsnen  7090  mapxpen  7138  ac6sfi  7192  updjud  7412  nninff  7452  nninfninc  7453  infnninf  7454  infnninfOLD  7455  nnnninf  7456  nnnninfeq  7458  nnnninfeq2  7459  enomnilem  7468  finomni  7470  exmidomni  7472  fodjuomnilemres  7478  ismkvnex  7485  mkvprop  7488  fodjumkvlemres  7489  enmkvlem  7491  enwomnilem  7499  nninfdcinf  7501  nninfwlporlem  7503  nninfwlpoimlemg  7505  cc2lem  7622  cc3  7624  1fv  10524  seqeq3  10867  iseqf1olemjpcl  10923  iseqf1olemqpcl  10924  iseqf1olemfvp  10925  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1olemstep  10929  seq3f1olemp  10930  ccatfvalfi  11338  wrdl1s1  11376  ccat1st1st  11387  shftvalg  11579  shftval4g  11580  clim  12025  summodc  12128  fsum3  12132  prodmodc  12323  fprodseq  12328  ennnfonelemim  13293  ctinfom  13297  strnfvnd  13350  ptex  13595  imasex  13603  xpsff1o  13647  ismhm  13745  isgrpinv  13836  isghm  14023  prdsex  14149  prdsplusgval  14160  prdsmulrval  14162  mplelbascoe  15006  mplsubgfilemm  15012  mplsubgfilemcl  15013  iscnp  15223  upxp  15296  elcncf  15597  ivthreinc  15669  reldvg  15703  elply2  15759  elplyr  15764  vtxdgfval  16443  iswlk  16478  uspgr2wlkeq2  16521  isclwwlk  16549  clwwlkn1loopb  16575  clwwlknon  16584  isclwwlknon  16585  s2elclwwlknon2  16591  depindlem1  16661  depind  16664  bj-charfunbi  16751  subctctexmid  16944  0nninf  16952  nnsf  16953  peano4nninf  16954  peano3nninf  16955  nninfalllem1  16956  nninfself  16961  nninfsellemeq  16962  nninfsellemeqinf  16964  isomninnlem  16984  trilpolemlt1  16995  iswomninnlem  17004  iswomni0  17006  ismkvnnlem  17007  dceqnconst  17015  dcapnconst  17016