Theorem fveq1 5674

Description: Equality theorem for function value. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
fveq1	|- ( F = G -> ( F ` A ) = ( G ` A ) )

Proof of Theorem fveq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq 4116	. . 3 |- ( F = G -> ( A F x <-> A G x ) )
2	1	iotabidv 5340	. 2 |- ( F = G -> ( iota x A F x ) = ( iota x A G x ) )
3		df-fv 5365	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
4		df-fv 5365	. 2 |- ( G ` A ) = ( iota x A G x )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2292	1 |- ( F = G -> ( F ` A ) = ( G ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4114   iotacio 5315   ` cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-uni 3920  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fveq1i  5676  fveq1d  5677  fvmptdf  5770  fvmptdv2  5772  isoeq1  5980  oveq  6064  offval  6283  ofrfval  6284  offval3  6340  uchoice  6344  smoeq  6534  recseq  6550  tfr0dm  6566  tfrlemiex  6575  tfr1onlemex  6591  tfr1onlemaccex  6592  tfrcllemsucaccv  6598  tfrcllembxssdm  6600  tfrcllemex  6604  tfrcllemaccex  6605  tfrcllemres  6606  rdgeq1  6615  rdgivallem  6625  rdgon  6630  rdg0  6631  frec0g  6641  freccllem  6646  frecfcllem  6648  frecsuclem  6650  frecsuc  6651  mapsncnv  6943  elixp2  6950  elixpsn  6983  mapsnend  7065  mapsnen  7066  mapxpen  7114  ac6sfi  7168  updjud  7386  nninff  7426  nninfninc  7427  infnninf  7428  infnninfOLD  7429  nnnninf  7430  nnnninfeq  7432  nnnninfeq2  7433  enomnilem  7442  finomni  7444  exmidomni  7446  fodjuomnilemres  7452  ismkvnex  7459  mkvprop  7462  fodjumkvlemres  7463  enmkvlem  7465  enwomnilem  7473  nninfdcinf  7475  nninfwlporlem  7477  nninfwlpoimlemg  7479  cc2lem  7596  cc3  7598  1fv  10495  seqeq3  10838  iseqf1olemjpcl  10894  iseqf1olemqpcl  10895  iseqf1olemfvp  10896  seq3f1olemqsum  10899  seq3f1olemstep  10900  seq3f1olemp  10901  ccatfvalfi  11305  wrdl1s1  11343  ccat1st1st  11354  shftvalg  11546  shftval4g  11547  clim  11991  summodc  12094  fsum3  12098  prodmodc  12289  fprodseq  12294  ennnfonelemim  13259  ctinfom  13263  strnfvnd  13316  ptex  13561  imasex  13569  xpsff1o  13613  ismhm  13716  isgrpinv  13809  isghm  13996  prdsex  14114  prdsplusgval  14125  prdsmulrval  14127  mplelbascoe  14973  mplsubgfilemm  14979  mplsubgfilemcl  14980  iscnp  15190  upxp  15263  elcncf  15564  ivthreinc  15636  reldvg  15670  elply2  15726  elplyr  15731  vtxdgfval  16409  iswlk  16444  uspgr2wlkeq2  16487  isclwwlk  16515  clwwlkn1loopb  16541  clwwlknon  16550  isclwwlknon  16551  s2elclwwlknon2  16557  depindlem1  16627  depind  16630  bj-charfunbi  16707  subctctexmid  16900  0nninf  16908  nnsf  16909  peano4nninf  16910  peano3nninf  16911  nninfalllem1  16912  nninfself  16917  nninfsellemeq  16918  nninfsellemeqinf  16920  isomninnlem  16940  trilpolemlt1  16951  iswomninnlem  16960  iswomni0  16962  ismkvnnlem  16963  dceqnconst  16972  dcapnconst  16973