Theorem fv3 5452

Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fv3	|- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Distinct variable groups:   x, y, F   x, A, y

Proof of Theorem fv3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5427	. . 3 |- ( x e. ( F ` A ) <-> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
2		bi2 129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( y = z -> A F y ) )
3	2	alimi 1432	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A. y ( y = z -> A F y ) )
4		vex 2692	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
5		breq2 3941	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( A F y <-> A F z ) )
6	4, 5	ceqsalv 2719	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = z -> A F y ) <-> A F z )
7	3, 6	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A F z )
8	7	anim2i 340	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( x e. z /\ A F z ) )
9	8	eximi 1580	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z ( x e. z /\ A F z ) )
10		elequ2 1692	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
11		breq2 3941	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( A F z <-> A F y ) )
12	10, 11	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( x e. z /\ A F z ) <-> ( x e. y /\ A F y ) ) )
13	12	cbvexv 1891	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A F z ) <-> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
14	9, 13	sylib 121	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
15		exsimpr 1598	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
16		df-eu 2003	. . . . . 6 |- ( E! y A F y <-> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
17	15, 16	sylibr 133	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E! y A F y )
18	14, 17	jca 304	. . . 4 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
19		nfeu1 2011	. . . . . . 7 |- F/ y E! y A F y
20		nfv 1509	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. z
21		nfa1 1522	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y ( A F y <-> y = z )
22	20, 21	nfan 1545	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
23	22	nfex 1617	. . . . . . 7 |- F/ y E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
24	19, 23	nfim 1552	. . . . . 6 |- F/ y ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
25		bi1 117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> y = z ) )
26		ax-14 1493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( x e. y -> x e. z ) )
27	25, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> ( x e. y -> x e. z ) ) )
28	27	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. y -> ( A F y -> x e. z ) ) )
29	28	impd 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
30	29	sps 1518	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
31	30	anc2ri 328	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
33	32	eximdv 1853	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E. z A. y ( A F y <-> y = z ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
34	16, 33	syl5bi 151	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
35	24, 34	exlimi 1574	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
36	35	imp 123	. . . 4 |- ( ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
37	18, 36	impbii 125	. . 3 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
38	1, 37	bitri 183	. 2 |- ( x e. ( F ` A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
39	38	abbi2i 2255	1 |- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E!weu 2000   {cab 2126   class class class wbr 3937   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139

This theorem is referenced by: (None)