Theorem relelfvdm 5512

Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relelfvdm	|- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> B e. dom F )

Proof of Theorem relelfvdm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5478	. . . . . 6 |- ( A e. ( F ` B ) <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )
2		exsimpr 1605	. . . . . 6 |- ( E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) -> E. x A. y ( B F y <-> y = x ) )
3	1, 2	sylbi 120	. . . . 5 |- ( A e. ( F ` B ) -> E. x A. y ( B F y <-> y = x ) )
4		equsb1 1772	. . . . . . . 8 |- [ x / y ] y = x
5		spsbbi 1831	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( B F y <-> y = x ) -> ( [ x / y ] B F y <-> [ x / y ] y = x ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( A. y ( B F y <-> y = x ) -> [ x / y ] B F y )
7		nfv 1515	. . . . . . . 8 |- F/ y B F x
8		breq2 3980	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( B F y <-> B F x ) )
9	7, 8	sbie 1778	. . . . . . 7 |- ( [ x / y ] B F y <-> B F x )
10	6, 9	sylib 121	. . . . . 6 |- ( A. y ( B F y <-> y = x ) -> B F x )
11	10	eximi 1587	. . . . 5 |- ( E. x A. y ( B F y <-> y = x ) -> E. x B F x )
12	3, 11	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( F ` B ) -> E. x B F x )
13	12	anim2i 340	. . 3 |- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> ( Rel F /\ E. x B F x ) )
14		19.42v 1893	. . 3 |- ( E. x ( Rel F /\ B F x ) <-> ( Rel F /\ E. x B F x ) )
15	13, 14	sylibr 133	. 2 |- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> E. x ( Rel F /\ B F x ) )
16		releldm 4833	. . 3 |- ( ( Rel F /\ B F x ) -> B e. dom F )
17	16	exlimiv 1585	. 2 |- ( E. x ( Rel F /\ B F x ) -> B e. dom F )
18	15, 17	syl 14	1 |- ( ( Rel F /\ A e. ( F ` B ) ) -> B e. dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1340   E.wex 1479   [wsb 1749   e. wcel 2135   class class class wbr 3976   dom cdm 4598   Rel wrel 4603   ` cfv 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fv 5190

This theorem is referenced by:  mptrcl  5562  elfvmptrab1  5574  elmpocl  6030  oprssdmm  6131  mpoxopn0yelv  6198  eluzel2  9462  hashinfom  10680  istopon  12552  istps  12571  topontopn  12576  eltg4i  12596  eltg3  12598  tg1  12600  tg2  12601  tgclb  12606  cldrcl  12643  neiss2  12683  lmrcl  12732  cnprcl2k  12747  metflem  12890  xmetf  12891  ismet2  12895  xmeteq0  12900  xmettri2  12902  xmetpsmet  12910  xmetres2  12920  blfvalps  12926  blex  12928  blvalps  12929  blval  12930  blfps  12950  blf  12951  mopnval  12983  isxms2  12993  comet  13040