ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relelfvdm Unicode version

Theorem relelfvdm 5457
Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
relelfvdm  |-  ( ( Rel  F  /\  A  e.  ( F `  B
) )  ->  B  e.  dom  F )

Proof of Theorem relelfvdm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfv 5423 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( F `  B )  <->  E. x
( A  e.  x  /\  A. y ( B F y  <->  y  =  x ) ) )
2 exsimpr 1598 . . . . . 6  |-  ( E. x ( A  e.  x  /\  A. y
( B F y  <-> 
y  =  x ) )  ->  E. x A. y ( B F y  <->  y  =  x ) )
31, 2sylbi 120 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( F `  B )  ->  E. x A. y ( B F y  <->  y  =  x ) )
4 equsb1 1759 . . . . . . . 8  |-  [ x  /  y ] y  =  x
5 spsbbi 1817 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( B F y  <->  y  =  x )  ->  ( [
x  /  y ] B F y  <->  [ x  /  y ] y  =  x ) )
64, 5mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( B F y  <->  y  =  x )  ->  [ x  /  y ] B F y )
7 nfv 1509 . . . . . . . 8  |-  F/ y  B F x
8 breq2 3937 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( B F y  <->  B F x ) )
97, 8sbie 1765 . . . . . . 7  |-  ( [ x  /  y ] B F y  <->  B F x )
106, 9sylib 121 . . . . . 6  |-  ( A. y ( B F y  <->  y  =  x )  ->  B F x )
1110eximi 1580 . . . . 5  |-  ( E. x A. y ( B F y  <->  y  =  x )  ->  E. x  B F x )
123, 11syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  ( F `  B )  ->  E. x  B F x )
1312anim2i 340 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  A  e.  ( F `  B
) )  ->  ( Rel  F  /\  E. x  B F x ) )
14 19.42v 1879 . . 3  |-  ( E. x ( Rel  F  /\  B F x )  <-> 
( Rel  F  /\  E. x  B F x ) )
1513, 14sylibr 133 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  A  e.  ( F `  B
) )  ->  E. x
( Rel  F  /\  B F x ) )
16 releldm 4778 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  B F x )  ->  B  e.  dom  F )
1716exlimiv 1578 . 2  |-  ( E. x ( Rel  F  /\  B F x )  ->  B  e.  dom  F )
1815, 17syl 14 1  |-  ( ( Rel  F  /\  A  e.  ( F `  B
) )  ->  B  e.  dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1330   E.wex 1469    e. wcel 1481   [wsb 1736   class class class wbr 3933   dom cdm 4543   Rel wrel 4548   ` cfv 5127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-rel 4550  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fv 5135
This theorem is referenced by:  mptrcl  5507  elfvmptrab1  5519  elmpocl  5972  oprssdmm  6073  mpoxopn0yelv  6140  eluzel2  9351  hashinfom  10552  istopon  12210  istps  12229  topontopn  12234  eltg4i  12254  eltg3  12256  tg1  12258  tg2  12259  tgclb  12264  cldrcl  12301  neiss2  12341  lmrcl  12390  cnprcl2k  12405  metflem  12548  xmetf  12549  ismet2  12553  xmeteq0  12558  xmettri2  12560  xmetpsmet  12568  xmetres2  12578  blfvalps  12584  blex  12586  blvalps  12587  blval  12588  blfps  12608  blf  12609  mopnval  12641  isxms2  12651  comet  12698
  Copyright terms: Public domain W3C validator