Theorem iuncom 3893

Description: Commutation of indexed unions. (Contributed by NM, 18-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom	|- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( y)   C( x, y)

Proof of Theorem iuncom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2641	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B z e. C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
2		eliun 3891	. . . . 5 |- ( z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. C )
3	2	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
4		eliun 3891	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A C <-> E. x e. A z e. C )
5	4	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. y e. B z e. U_ x e. A C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
6	1, 3, 5	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
7		eliun 3891	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> E. x e. A z e. U_ y e. B C )
8		eliun 3891	. . 3 |- ( z e. U_ y e. B U_ x e. A C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
9	6, 7, 8	3bitr4i 212	. 2 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> z e. U_ y e. B U_ x e. A C )
10	9	eqriv 2174	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   U_ciun 3887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-iun 3889

This theorem is referenced by: (None)