Theorem iuncom 3758

Description: Commutation of indexed unions. (Contributed by NM, 18-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom	|- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( y)   C( x, y)

Proof of Theorem iuncom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2545	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B z e. C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
2		eliun 3756	. . . . 5 |- ( z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. C )
3	2	rexbii 2396	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
4		eliun 3756	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A C <-> E. x e. A z e. C )
5	4	rexbii 2396	. . . 4 |- ( E. y e. B z e. U_ x e. A C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
6	1, 3, 5	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
7		eliun 3756	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> E. x e. A z e. U_ y e. B C )
8		eliun 3756	. . 3 |- ( z e. U_ y e. B U_ x e. A C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
9	6, 7, 8	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> z e. U_ y e. B U_ x e. A C )
10	9	eqriv 2092	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Syntax hints:   = wceq 1296   e. wcel 1445   E.wrex 2371   U_ciun 3752

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-iun 3754

This theorem is referenced by: (None)