Theorem iuncom 3827

Description: Commutation of indexed unions. (Contributed by NM, 18-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom	|- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( y)   C( x, y)

Proof of Theorem iuncom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2598	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B z e. C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
2		eliun 3825	. . . . 5 |- ( z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. C )
3	2	rexbii 2445	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
4		eliun 3825	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A C <-> E. x e. A z e. C )
5	4	rexbii 2445	. . . 4 |- ( E. y e. B z e. U_ x e. A C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
6	1, 3, 5	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
7		eliun 3825	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> E. x e. A z e. U_ y e. B C )
8		eliun 3825	. . 3 |- ( z e. U_ y e. B U_ x e. A C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
9	6, 7, 8	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> z e. U_ y e. B U_ x e. A C )
10	9	eqriv 2137	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   U_ciun 3821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-iun 3823

This theorem is referenced by: (None)