Theorem iuncom 3933

Description: Commutation of indexed unions. (Contributed by NM, 18-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom	|- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( y)   C( x, y)

Proof of Theorem iuncom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2670	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B z e. C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
2		eliun 3931	. . . . 5 |- ( z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. C )
3	2	rexbii 2513	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
4		eliun 3931	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A C <-> E. x e. A z e. C )
5	4	rexbii 2513	. . . 4 |- ( E. y e. B z e. U_ x e. A C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
6	1, 3, 5	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
7		eliun 3931	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> E. x e. A z e. U_ y e. B C )
8		eliun 3931	. . 3 |- ( z e. U_ y e. B U_ x e. A C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
9	6, 7, 8	3bitr4i 212	. 2 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> z e. U_ y e. B U_ x e. A C )
10	9	eqriv 2202	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   U_ciun 3927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-iun 3929

This theorem is referenced by: (None)