Theorem iuncom 3879

Description: Commutation of indexed unions. (Contributed by NM, 18-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom	|- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( y)   C( x, y)

Proof of Theorem iuncom

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2634	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B z e. C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
2		eliun 3877	. . . . 5 |- ( z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. C )
3	2	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. x e. A E. y e. B z e. C )
4		eliun 3877	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. A C <-> E. x e. A z e. C )
5	4	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. y e. B z e. U_ x e. A C <-> E. y e. B E. x e. A z e. C )
6	1, 3, 5	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. A z e. U_ y e. B C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
7		eliun 3877	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> E. x e. A z e. U_ y e. B C )
8		eliun 3877	. . 3 |- ( z e. U_ y e. B U_ x e. A C <-> E. y e. B z e. U_ x e. A C )
9	6, 7, 8	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. U_ x e. A U_ y e. B C <-> z e. U_ y e. B U_ x e. A C )
10	9	eqriv 2167	1 |- U_ x e. A U_ y e. B C = U_ y e. B U_ x e. A C

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-iun 3875

This theorem is referenced by: (None)