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Theorem iuncom4 3743
Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iuncom4  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B

Proof of Theorem iuncom4
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2366 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
21rexbii 2386 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
3 rexcom4 2643 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
42, 3bitri 183 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
5 r19.41v 2524 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
65exbii 1542 . . . . 5  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z
( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
74, 6bitri 183 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
8 eluni2 3663 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  y  e.  z )
98rexbii 2386 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z )
10 df-rex 2366 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z ) )
11 eliun 3740 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
1211anbi1i 447 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
1312exbii 1542 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
1410, 13bitri 183 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
157, 9, 143bitr4i 211 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
16 eliun 3740 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  E. x  e.  A  y  e.  U. B )
17 eluni2 3663 . . 3  |-  ( y  e.  U. U_ x  e.  A  B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
1815, 16, 173bitr4i 211 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  y  e.  U.
U_ x  e.  A  B )
1918eqriv 2086 1  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439   E.wrex 2361   U.cuni 3659   U_ciun 3736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-uni 3660  df-iun 3738
This theorem is referenced by:  tgidm  11835
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