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Theorem iuncom4 3905
Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iuncom4  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B

Proof of Theorem iuncom4
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2471 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
21rexbii 2494 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
3 rexcom4 2772 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
42, 3bitri 184 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
5 r19.41v 2643 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
65exbii 1615 . . . . 5  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z
( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
74, 6bitri 184 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
8 eluni2 3825 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  y  e.  z )
98rexbii 2494 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z )
10 df-rex 2471 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z ) )
11 eliun 3902 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
1211anbi1i 458 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
1312exbii 1615 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
1410, 13bitri 184 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
157, 9, 143bitr4i 212 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
16 eliun 3902 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  E. x  e.  A  y  e.  U. B )
17 eluni2 3825 . . 3  |-  ( y  e.  U. U_ x  e.  A  B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
1815, 16, 173bitr4i 212 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  y  e.  U.
U_ x  e.  A  B )
1918eqriv 2184 1  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   E.wrex 2466   U.cuni 3821   U_ciun 3898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-uni 3822  df-iun 3900
This theorem is referenced by:  tgidm  13845
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