Theorem iuncom4 3905

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	|- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2471	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B y e. z <-> E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
2	1	rexbii 2494	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
3		rexcom4 2772	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
5		r19.41v 2643	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
6	5	exbii 1615	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
8		eluni2 3825	. . . . 5 |- ( y e. U. B <-> E. z e. B y e. z )
9	8	rexbii 2494	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. x e. A E. z e. B y e. z )
10		df-rex 2471	. . . . 5 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) )
11		eliun 3902	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
12	11	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
13	12	exbii 1615	. . . . 5 |- ( E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
14	10, 13	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
15	7, 9, 14	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
16		eliun 3902	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> E. x e. A y e. U. B )
17		eluni2 3825	. . 3 |- ( y e. U. U_ x e. A B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
18	15, 16, 17	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> y e. U. U_ x e. A B )
19	18	eqriv 2184	1 |- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   E.wrex 2466   U.cuni 3821   U_ciun 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-uni 3822  df-iun 3900

This theorem is referenced by:  tgidm  13845