Theorem iuncom4 3948

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	|- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2492	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B y e. z <-> E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
2	1	rexbii 2515	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
3		rexcom4 2800	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
5		r19.41v 2664	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
6	5	exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
8		eluni2 3868	. . . . 5 |- ( y e. U. B <-> E. z e. B y e. z )
9	8	rexbii 2515	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. x e. A E. z e. B y e. z )
10		df-rex 2492	. . . . 5 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) )
11		eliun 3945	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
12	11	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
13	12	exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
14	10, 13	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
15	7, 9, 14	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
16		eliun 3945	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> E. x e. A y e. U. B )
17		eluni2 3868	. . 3 |- ( y e. U. U_ x e. A B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
18	15, 16, 17	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> y e. U. U_ x e. A B )
19	18	eqriv 2204	1 |- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   E.wrex 2487   U.cuni 3864   U_ciun 3941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-uni 3865  df-iun 3943

This theorem is referenced by:  tgidm  14661