Theorem iuncom4 3873

Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iuncom4	|- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Proof of Theorem iuncom4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2450	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B y e. z <-> E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
2	1	rexbii 2473	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) )
3		rexcom4 2749	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. z ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) )
5		r19.41v 2622	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
6	5	exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A ( z e. B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z e. B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
8		eluni2 3793	. . . . 5 |- ( y e. U. B <-> E. z e. B y e. z )
9	8	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. x e. A E. z e. B y e. z )
10		df-rex 2450	. . . . 5 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) )
11		eliun 3870	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
12	11	anbi1i 454	. . . . . 6 |- ( ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
13	12	exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. z ( z e. U_ x e. A B /\ y e. z ) <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
14	10, 13	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z e. U_ x e. A B y e. z <-> E. z ( E. x e. A z e. B /\ y e. z ) )
15	7, 9, 14	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. x e. A y e. U. B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
16		eliun 3870	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> E. x e. A y e. U. B )
17		eluni2 3793	. . 3 |- ( y e. U. U_ x e. A B <-> E. z e. U_ x e. A B y e. z )
18	15, 16, 17	3bitr4i 211	. 2 |- ( y e. U_ x e. A U. B <-> y e. U. U_ x e. A B )
19	18	eqriv 2162	1 |- U_ x e. A U. B = U. U_ x e. A B

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   U.cuni 3789   U_ciun 3866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-uni 3790  df-iun 3868

This theorem is referenced by:  tgidm  12714