Theorem eliun 4016

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	|- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( A e. U_ x e. B C -> A e. _V )
2		elex 2833	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	rexlimivw 2664	. 2 |- ( E. x e. B A e. C -> A e. _V )
4		eleq1 2301	. . . 4 |- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) )
5	4	rexbidv 2551	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. B y e. C <-> E. x e. B A e. C ) )
6		df-iun 4014	. . 3 |- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
7	5, 6	elab2g 2973	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C ) )
8	1, 3, 7	pm5.21nii 716	1 |- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   U_ciun 4012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-iun 4014

This theorem is used by:  iuncom  4018  iuncom4  4019  iunconstm  4020  iuniin  4022  iunss1  4023  ss2iun  4027  dfiun2g  4044  ssiun  4054  ssiun2  4055  iunab  4059  iun0  4069  0iun  4070  iunn0m  4073  iunin2  4076  iundif2ss  4078  iindif2m  4080  iunxsng  4088  iunxsngf  4090  iunun  4091  iunxun  4092  iunxiun  4094  iunpwss  4104  disjiun  4125  triun  4242  iunpw  4626  xpiundi  4833  xpiundir  4834  iunxpf  4928  cnvuni  4966  dmiun  4990  dmuni  4991  rniun  5198  dfco2  5287  dfco2a  5288  coiun  5297  fun11iun  5660  imaiun  5966  eluniimadm  5971  opabex3d  6350  opabex3  6351  smoiun  6572  tfrlemi14d  6604  tfr1onlemres  6620  tfrcllemres  6633  wrdval  11307  fsum2dlemstep  12201  fisumcom2  12205  fsumiun  12244  fprod2dlemstep  12389  fprodcom2fi  12393  ennnfonelemrn  13310  ennnfonelemdm  13311  ctiunctlemf  13329  ctiunctlemfo  13330  imasaddfnlemg  13635  lssats2  14751  clwwlknun  16682