Theorem eliun 3937

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	|- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2785	. 2 |- ( A e. U_ x e. B C -> A e. _V )
2		elex 2785	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	rexlimivw 2620	. 2 |- ( E. x e. B A e. C -> A e. _V )
4		eleq1 2269	. . . 4 |- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) )
5	4	rexbidv 2508	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. B y e. C <-> E. x e. B A e. C ) )
6		df-iun 3935	. . 3 |- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
7	5, 6	elab2g 2924	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C ) )
8	1, 3, 7	pm5.21nii 706	1 |- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   U_ciun 3933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-iun 3935

This theorem is referenced by:  iuncom  3939  iuncom4  3940  iunconstm  3941  iuniin  3943  iunss1  3944  ss2iun  3948  dfiun2g  3965  ssiun  3975  ssiun2  3976  iunab  3980  iun0  3990  0iun  3991  iunn0m  3994  iunin2  3997  iundif2ss  3999  iindif2m  4001  iunxsng  4009  iunxsngf  4011  iunun  4012  iunxun  4013  iunxiun  4015  iunpwss  4025  disjiun  4046  triun  4163  iunpw  4535  xpiundi  4741  xpiundir  4742  iunxpf  4834  cnvuni  4872  dmiun  4896  dmuni  4897  rniun  5102  dfco2  5191  dfco2a  5192  coiun  5201  fun11iun  5555  imaiun  5842  eluniimadm  5847  opabex3d  6219  opabex3  6220  smoiun  6400  tfrlemi14d  6432  tfr1onlemres  6448  tfrcllemres  6461  wrdval  11019  fsum2dlemstep  11820  fisumcom2  11824  fsumiun  11863  fprod2dlemstep  12008  fprodcom2fi  12012  ennnfonelemrn  12865  ennnfonelemdm  12866  ctiunctlemf  12884  ctiunctlemfo  12885  imasaddfnlemg  13221  lssats2  14251