Theorem eliun 3817

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	|- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2697	. 2 |- ( A e. U_ x e. B C -> A e. _V )
2		elex 2697	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	rexlimivw 2545	. 2 |- ( E. x e. B A e. C -> A e. _V )
4		eleq1 2202	. . . 4 |- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) )
5	4	rexbidv 2438	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. B y e. C <-> E. x e. B A e. C ) )
6		df-iun 3815	. . 3 |- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
7	5, 6	elab2g 2831	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C ) )
8	1, 3, 7	pm5.21nii 693	1 |- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   U_ciun 3813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-iun 3815

This theorem is referenced by:  iuncom  3819  iuncom4  3820  iunconstm  3821  iuniin  3823  iunss1  3824  ss2iun  3828  dfiun2g  3845  ssiun  3855  ssiun2  3856  iunab  3859  iun0  3869  0iun  3870  iunn0m  3873  iunin2  3876  iundif2ss  3878  iindif2m  3880  iunxsng  3888  iunxsngf  3890  iunun  3891  iunxun  3892  iunxiun  3894  iunpwss  3904  disjiun  3924  triun  4039  iunpw  4401  xpiundi  4597  xpiundir  4598  iunxpf  4687  cnvuni  4725  dmiun  4748  dmuni  4749  rniun  4949  dfco2  5038  dfco2a  5039  coiun  5048  fun11iun  5388  imaiun  5661  eluniimadm  5666  opabex3d  6019  opabex3  6020  smoiun  6198  tfrlemi14d  6230  tfr1onlemres  6246  tfrcllemres  6259  fsum2dlemstep  11203  fisumcom2  11207  fsumiun  11246  ennnfonelemrn  11932  ennnfonelemdm  11933  ctiunctlemf  11951  ctiunctlemfo  11952