Theorem eliun 3920

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	|- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 |- ( A e. U_ x e. B C -> A e. _V )
2		elex 2774	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	rexlimivw 2610	. 2 |- ( E. x e. B A e. C -> A e. _V )
4		eleq1 2259	. . . 4 |- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) )
5	4	rexbidv 2498	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. B y e. C <-> E. x e. B A e. C ) )
6		df-iun 3918	. . 3 |- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
7	5, 6	elab2g 2911	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C ) )
8	1, 3, 7	pm5.21nii 705	1 |- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   U_ciun 3916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-iun 3918

This theorem is referenced by:  iuncom  3922  iuncom4  3923  iunconstm  3924  iuniin  3926  iunss1  3927  ss2iun  3931  dfiun2g  3948  ssiun  3958  ssiun2  3959  iunab  3963  iun0  3973  0iun  3974  iunn0m  3977  iunin2  3980  iundif2ss  3982  iindif2m  3984  iunxsng  3992  iunxsngf  3994  iunun  3995  iunxun  3996  iunxiun  3998  iunpwss  4008  disjiun  4028  triun  4144  iunpw  4515  xpiundi  4721  xpiundir  4722  iunxpf  4814  cnvuni  4852  dmiun  4875  dmuni  4876  rniun  5080  dfco2  5169  dfco2a  5170  coiun  5179  fun11iun  5525  imaiun  5807  eluniimadm  5812  opabex3d  6178  opabex3  6179  smoiun  6359  tfrlemi14d  6391  tfr1onlemres  6407  tfrcllemres  6420  wrdval  10938  fsum2dlemstep  11599  fisumcom2  11603  fsumiun  11642  fprod2dlemstep  11787  fprodcom2fi  11791  ennnfonelemrn  12636  ennnfonelemdm  12637  ctiunctlemf  12655  ctiunctlemfo  12656  imasaddfnlemg  12957  lssats2  13970