Theorem eliun 4016

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	|- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( A e. U_ x e. B C -> A e. _V )
2		elex 2833	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	rexlimivw 2664	. 2 |- ( E. x e. B A e. C -> A e. _V )
4		eleq1 2301	. . . 4 |- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) )
5	4	rexbidv 2551	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. B y e. C <-> E. x e. B A e. C ) )
6		df-iun 4014	. . 3 |- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
7	5, 6	elab2g 2973	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C ) )
8	1, 3, 7	pm5.21nii 716	1 |- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   U_ciun 4012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-iun 4014

This theorem is used by:  iuncom  4018  iuncom4  4019  iunconstm  4020  iuniin  4022  iunss1  4023  ss2iun  4027  dfiun2g  4044  ssiun  4054  ssiun2  4055  iunab  4059  iun0  4069  0iun  4070  iunn0m  4073  iunin2  4076  iundif2ss  4078  iindif2m  4080  iunxsng  4088  iunxsngf  4090  iunun  4091  iunxun  4092  iunxiun  4094  iunpwss  4104  disjiun  4125  triun  4244  iunpw  4628  xpiundi  4835  xpiundir  4836  iunxpf  4930  cnvuni  4968  dmiun  4992  dmuni  4993  rniun  5201  dfco2  5290  dfco2a  5291  coiun  5300  fun11iun  5663  imaiun  5969  eluniimadm  5974  opabex3d  6354  opabex3  6355  smoiun  6576  tfrlemi14d  6608  tfr1onlemres  6624  tfrcllemres  6637  wrdval  11329  fsum2dlemstep  12226  fisumcom2  12230  fsumiun  12269  fprod2dlemstep  12414  fprodcom2fi  12418  ennnfonelemrn  13368  ennnfonelemdm  13369  ctiunctlemf  13387  ctiunctlemfo  13388  imasaddfnlemg  13694  lssats2  14860  clwwlknun  16887