Theorem eliun 3968

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	|- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. 2 |- ( A e. U_ x e. B C -> A e. _V )
2		elex 2811	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	rexlimivw 2644	. 2 |- ( E. x e. B A e. C -> A e. _V )
4		eleq1 2292	. . . 4 |- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) )
5	4	rexbidv 2531	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. B y e. C <-> E. x e. B A e. C ) )
6		df-iun 3966	. . 3 |- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
7	5, 6	elab2g 2950	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C ) )
8	1, 3, 7	pm5.21nii 709	1 |- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   U_ciun 3964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-iun 3966

This theorem is referenced by:  iuncom  3970  iuncom4  3971  iunconstm  3972  iuniin  3974  iunss1  3975  ss2iun  3979  dfiun2g  3996  ssiun  4006  ssiun2  4007  iunab  4011  iun0  4021  0iun  4022  iunn0m  4025  iunin2  4028  iundif2ss  4030  iindif2m  4032  iunxsng  4040  iunxsngf  4042  iunun  4043  iunxun  4044  iunxiun  4046  iunpwss  4056  disjiun  4077  triun  4194  iunpw  4570  xpiundi  4776  xpiundir  4777  iunxpf  4869  cnvuni  4907  dmiun  4931  dmuni  4932  rniun  5138  dfco2  5227  dfco2a  5228  coiun  5237  fun11iun  5592  imaiun  5883  eluniimadm  5888  opabex3d  6264  opabex3  6265  smoiun  6445  tfrlemi14d  6477  tfr1onlemres  6493  tfrcllemres  6506  wrdval  11069  fsum2dlemstep  11940  fisumcom2  11944  fsumiun  11983  fprod2dlemstep  12128  fprodcom2fi  12132  ennnfonelemrn  12985  ennnfonelemdm  12986  ctiunctlemf  13004  ctiunctlemfo  13005  imasaddfnlemg  13342  lssats2  14372