Theorem eliun 3930

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	|- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2782	. 2 |- ( A e. U_ x e. B C -> A e. _V )
2		elex 2782	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	rexlimivw 2618	. 2 |- ( E. x e. B A e. C -> A e. _V )
4		eleq1 2267	. . . 4 |- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) )
5	4	rexbidv 2506	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. B y e. C <-> E. x e. B A e. C ) )
6		df-iun 3928	. . 3 |- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
7	5, 6	elab2g 2919	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C ) )
8	1, 3, 7	pm5.21nii 705	1 |- ( A e. U_ x e. B C <-> E. x e. B A e. C )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   E.wrex 2484   _Vcvv 2771   U_ciun 3926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-iun 3928

This theorem is referenced by:  iuncom  3932  iuncom4  3933  iunconstm  3934  iuniin  3936  iunss1  3937  ss2iun  3941  dfiun2g  3958  ssiun  3968  ssiun2  3969  iunab  3973  iun0  3983  0iun  3984  iunn0m  3987  iunin2  3990  iundif2ss  3992  iindif2m  3994  iunxsng  4002  iunxsngf  4004  iunun  4005  iunxun  4006  iunxiun  4008  iunpwss  4018  disjiun  4038  triun  4154  iunpw  4526  xpiundi  4732  xpiundir  4733  iunxpf  4825  cnvuni  4863  dmiun  4886  dmuni  4887  rniun  5092  dfco2  5181  dfco2a  5182  coiun  5191  fun11iun  5542  imaiun  5828  eluniimadm  5833  opabex3d  6205  opabex3  6206  smoiun  6386  tfrlemi14d  6418  tfr1onlemres  6434  tfrcllemres  6447  wrdval  10995  fsum2dlemstep  11687  fisumcom2  11691  fsumiun  11730  fprod2dlemstep  11875  fprodcom2fi  11879  ennnfonelemrn  12732  ennnfonelemdm  12733  ctiunctlemf  12751  ctiunctlemfo  12752  imasaddfnlemg  13088  lssats2  14118