Theorem onm 4228

Description: The class of all ordinal numbers is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onm	|- E. x x e. On

Proof of Theorem onm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4219	. . 3 |- (/) e. On
2		0ex 3966	. . . 4 |- (/) e. _V
3		eleq1 2150	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( x e. On <-> (/) e. On ) )
4	2, 3	ceqsexv 2658	. . 3 |- ( E. x ( x = (/) /\ x e. On ) <-> (/) e. On )
5	1, 4	mpbir 144	. 2 |- E. x ( x = (/) /\ x e. On )
6		exsimpr 1554	. 2 |- ( E. x ( x = (/) /\ x e. On ) -> E. x x e. On )
7	5, 6	ax-mp 7	1 |- E. x x e. On

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   (/)c0 3286   Oncon0 4190

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-nul 3965

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-uni 3654  df-tr 3937  df-iord 4193  df-on 4195

This theorem is referenced by: (None)