Theorem 0ex 4063

Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 4062. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0ex	|- (/) e. _V

Proof of Theorem 0ex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-nul 4062	. . 3 |- E. x A. y -. y e. x
2		eq0 3386	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	exbii 1585	. . 3 |- ( E. x x = (/) <-> E. x A. y -. y e. x )
4	1, 3	mpbir 145	. 2 |- E. x x = (/)
5	4	issetri 2698	1 |- (/) e. _V

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   (/)c0 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4062

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369

This theorem is referenced by:  0elpw  4096  0nep0  4097  iin0r  4101  intv  4102  snexprc  4118  p0ex  4120  undifexmid  4125  exmidexmid  4128  exmid01  4129  exmidsssn  4133  exmidel  4136  exmidundif  4137  exmidundifim  4138  0elon  4322  onm  4331  ordtriexmidlem2  4444  ordtriexmid  4445  ordtri2orexmid  4446  ontr2exmid  4448  onsucsssucexmid  4450  onsucelsucexmidlem1  4451  onsucelsucexmid  4453  regexmidlem1  4456  reg2exmidlema  4457  ordsoexmid  4485  0elsucexmid  4488  ordpwsucexmid  4493  ordtri2or2exmid  4494  dcextest  4503  peano1  4516  finds  4522  finds2  4523  0elnn  4540  opthprc  4598  nfunv  5164  fun0  5189  acexmidlema  5773  acexmidlemb  5774  acexmidlemab  5776  ovprc  5814  1st0  6050  2nd0  6051  brtpos0  6157  reldmtpos  6158  tfr0dm  6227  rdg0  6292  frec0g  6302  1n0  6337  el1o  6342  0lt2o  6346  fnom  6354  omexg  6355  om0  6362  nnsucsssuc  6396  mapdm0  6565  map0e  6588  0elixp  6631  en0  6697  ensn1  6698  en1  6701  2dom  6707  map1  6714  xp1en  6725  endisj  6726  dom0  6740  php5dom  6765  ssfilem  6777  ssfiexmid  6778  domfiexmid  6780  diffitest  6789  ac6sfi  6800  exmidpw  6810  unfiexmid  6814  fi0  6871  djuexb  6937  djulclr  6942  djulcl  6944  djulclb  6948  djulf1or  6949  djulf1o  6951  inl11  6958  djuss  6963  1stinl  6967  2ndinl  6968  0ct  7000  finomni  7020  exmidomni  7022  exmidonfinlem  7066  exmidfodomrlemr  7075  exmidfodomrlemrALT  7076  exmidaclem  7081  dju0en  7087  djucomen  7089  djuassen  7090  xpdjuen  7091  indpi  7174  frecfzennn  10230  fihashen1  10577  hashunlem  10582  zfz1iso  10616  ennnfonelemj0  11950  ennnfonelem0  11954  ennnfonelemhom  11964  strsl0  12046  topgele  12235  en1top  12285  sn0topon  12296  sn0cld  12345  rest0  12387  restsn  12388  0met  12592  djulclALT  13179  bj-d0clsepcl  13294  bj-indint  13300  bj-bdfindis  13316  bj-inf2vnlem1  13339  pw1dom2  13361  pwle2  13366  exmid1stab  13368  pw1nct  13371  0nninf  13372  nninfsellemdc  13381