Theorem 0ex 4187

Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 4186. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0ex	|- (/) e. _V

Proof of Theorem 0ex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-nul 4186	. . 3 |- E. x A. y -. y e. x
2		eq0 3487	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	exbii 1629	. . 3 |- ( E. x x = (/) <-> E. x A. y -. y e. x )
4	1, 3	mpbir 146	. 2 |- E. x x = (/)
5	4	issetri 2786	1 |- (/) e. _V

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   (/)c0 3468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-nul 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-dif 3176  df-nul 3469

This theorem is referenced by:  0elpw  4224  0nep0  4225  iin0r  4229  intv  4230  snexprc  4246  p0ex  4248  undifexmid  4253  exmidexmid  4256  ss1o0el1  4257  exmidsssn  4262  exmidel  4265  exmidundif  4266  exmidundifim  4267  exmid1stab  4268  0elon  4457  onm  4466  ordtriexmidlem2  4586  ordtriexmid  4587  ontriexmidim  4588  ordtri2orexmid  4589  ontr2exmid  4591  onsucsssucexmid  4593  onsucelsucexmidlem1  4594  onsucelsucexmid  4596  regexmidlem1  4599  reg2exmidlema  4600  ordsoexmid  4628  0elsucexmid  4631  ordpwsucexmid  4636  ordtri2or2exmid  4637  ontri2orexmidim  4638  dcextest  4647  peano1  4660  finds  4666  finds2  4667  0elnn  4685  opthprc  4744  nfunv  5323  fun0  5351  acexmidlema  5958  acexmidlemb  5959  acexmidlemab  5961  ovprc  6003  1st0  6253  2nd0  6254  brtpos0  6361  reldmtpos  6362  tfr0dm  6431  rdg0  6496  frec0g  6506  1n0  6541  el1o  6546  0lt2o  6550  fnom  6559  omexg  6560  om0  6567  nnsucsssuc  6601  mapdm0  6773  map0e  6796  0elixp  6839  en0  6910  ensn1  6911  en1  6914  2dom  6921  map1  6928  rex2dom  6934  xp1en  6943  endisj  6944  dom0  6960  php5dom  6985  ssfilem  6998  ssfiexmid  6999  domfiexmid  7001  diffitest  7010  ac6sfi  7021  exmidpw  7031  exmidpw2en  7035  unfiexmid  7041  fi0  7103  djuexb  7172  djulclr  7177  djulcl  7179  djulclb  7183  djulf1or  7184  djulf1o  7186  inl11  7193  djuss  7198  1stinl  7202  2ndinl  7203  0ct  7235  finomni  7268  exmidomni  7270  pr2cv1  7329  exmidonfinlem  7332  exmidfodomrlemr  7341  exmidfodomrlemrALT  7342  exmidaclem  7351  dju0en  7357  djucomen  7359  djuassen  7360  xpdjuen  7361  pw1dom2  7373  pw1ne1  7375  fmelpw1o  7393  indpi  7490  frecfzennn  10608  fihashen1  10981  hashunlem  10986  zfz1iso  11023  lswex  11082  s1prc  11115  ccat1st1st  11131  swrdval  11139  swrd0g  11151  pfxval  11165  pfx0g  11167  fnpfx  11168  swrdccat3blem  11230  ennnfonelemj0  12887  ennnfonelem0  12891  ennnfonelemhom  12901  strsl0  12996  fnpr2ob  13287  xpsfrnel  13291  0g0  13323  gsum0g  13343  topgele  14616  en1top  14664  sn0topon  14675  sn0cld  14724  rest0  14766  restsn  14767  0met  14971  vtxval0  15765  iedgval0  15766  uhgr0  15796  upgr0eop  15830  djulclALT  15937  bj-charfun  15942  bj-d0clsepcl  16060  bj-indint  16066  bj-bdfindis  16082  bj-inf2vnlem1  16105  dom1o  16128  pw1map  16134  pwle2  16137  pw1nct  16142  0nninf  16143  nninfsellemdc  16149  nnnninfex  16161