Theorem 0elon 4439

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4438	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4171	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4421	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2176   (/)c0 3460   Ord word 4409   Oncon0 4410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-nul 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-uni 3851  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415

This theorem is referenced by:  inton  4440  onn0  4447  onm  4448  limon  4561  ordtriexmid  4569  ontriexmidim  4570  ordtri2orexmid  4571  onsucsssucexmid  4575  onsucelsucexmid  4578  ordsoexmid  4610  ordpwsucexmid  4618  ordtri2or2exmid  4619  ontri2orexmidim  4620  tfr0dm  6408  1on  6509  ordgt0ge1  6521  omv  6541  oa0  6543  om0  6544  oei0  6545  omcl  6547  omv2  6551  oaword1  6557  nna0r  6564  nnm0r  6565  card0  7295