Theorem 0elon 4487

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4486	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4214	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4469	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2200   (/)c0 3492   Ord word 4457   Oncon0 4458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-nul 4213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-uni 3892  df-tr 4186  df-iord 4461  df-on 4463

This theorem is referenced by:  inton  4488  onn0  4495  onm  4496  limon  4609  ordtriexmid  4617  ontriexmidim  4618  ordtri2orexmid  4619  onsucsssucexmid  4623  onsucelsucexmid  4626  ordsoexmid  4658  ordpwsucexmid  4666  ordtri2or2exmid  4667  ontri2orexmidim  4668  tfr0dm  6483  1on  6584  ordgt0ge1  6598  omv  6618  oa0  6620  om0  6621  oei0  6622  omcl  6624  omv2  6628  oaword1  6634  nna0r  6641  nnm0r  6642  card0  7383