Theorem 0elon 4513

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4512	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4237	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4495	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2203   (/)c0 3508   Ord word 4483   Oncon0 4484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-nul 4236

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-uni 3915  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489

This theorem is referenced by:  inton  4514  onn0  4521  onm  4522  limon  4635  ordtriexmid  4643  ontriexmidim  4644  ordtri2orexmid  4645  onsucsssucexmid  4649  onsucelsucexmid  4652  ordsoexmid  4684  ordpwsucexmid  4692  ordtri2or2exmid  4693  ontri2orexmidim  4694  tfr0dm  6553  1on  6654  ordgt0ge1  6668  omv  6688  oa0  6690  om0  6691  oei0  6692  omcl  6694  omv2  6698  oaword1  6704  nna0r  6711  nnm0r  6712  card0  7484