Theorem 0elon 4424

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4423	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4157	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4406	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2164   (/)c0 3447   Ord word 4394   Oncon0 4395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-nul 4156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-uni 3837  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400

This theorem is referenced by:  inton  4425  onn0  4432  onm  4433  limon  4546  ordtriexmid  4554  ontriexmidim  4555  ordtri2orexmid  4556  onsucsssucexmid  4560  onsucelsucexmid  4563  ordsoexmid  4595  ordpwsucexmid  4603  ordtri2or2exmid  4604  ontri2orexmidim  4605  tfr0dm  6377  1on  6478  ordgt0ge1  6490  omv  6510  oa0  6512  om0  6513  oei0  6514  omcl  6516  omv2  6520  oaword1  6526  nna0r  6533  nnm0r  6534  card0  7250