Theorem 0elon 4482

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4481	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4210	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4464	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2200   (/)c0 3491   Ord word 4452   Oncon0 4453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-nul 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-uni 3888  df-tr 4182  df-iord 4456  df-on 4458

This theorem is referenced by:  inton  4483  onn0  4490  onm  4491  limon  4604  ordtriexmid  4612  ontriexmidim  4613  ordtri2orexmid  4614  onsucsssucexmid  4618  onsucelsucexmid  4621  ordsoexmid  4653  ordpwsucexmid  4661  ordtri2or2exmid  4662  ontri2orexmidim  4663  tfr0dm  6466  1on  6567  ordgt0ge1  6579  omv  6599  oa0  6601  om0  6602  oei0  6603  omcl  6605  omv2  6609  oaword1  6615  nna0r  6622  nnm0r  6623  card0  7356