Theorem 0elon 4457

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4456	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4187	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4439	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2178   (/)c0 3468   Ord word 4427   Oncon0 4428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-nul 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-uni 3865  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433

This theorem is referenced by:  inton  4458  onn0  4465  onm  4466  limon  4579  ordtriexmid  4587  ontriexmidim  4588  ordtri2orexmid  4589  onsucsssucexmid  4593  onsucelsucexmid  4596  ordsoexmid  4628  ordpwsucexmid  4636  ordtri2or2exmid  4637  ontri2orexmidim  4638  tfr0dm  6431  1on  6532  ordgt0ge1  6544  omv  6564  oa0  6566  om0  6567  oei0  6568  omcl  6570  omv2  6574  oaword1  6580  nna0r  6587  nnm0r  6588  card0  7321