Theorem 0elon 4322

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4321	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4063	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4304	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 145	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 1481   (/)c0 3368   Ord word 4292   Oncon0 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4062

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298

This theorem is referenced by:  inton  4323  onn0  4330  onm  4331  limon  4437  ordtriexmid  4445  ordtri2orexmid  4446  onsucsssucexmid  4450  onsucelsucexmid  4453  ordsoexmid  4485  ordpwsucexmid  4493  ordtri2or2exmid  4494  tfr0dm  6227  1on  6328  ordgt0ge1  6340  omv  6359  oa0  6361  om0  6362  oei0  6363  omcl  6365  omv2  6369  oaword1  6375  nna0r  6382  nnm0r  6383  card0  7061