Theorem 0elon 4427

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4426	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4160	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4409	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2167   (/)c0 3450   Ord word 4397   Oncon0 4398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-nul 4159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-uni 3840  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403

This theorem is referenced by:  inton  4428  onn0  4435  onm  4436  limon  4549  ordtriexmid  4557  ontriexmidim  4558  ordtri2orexmid  4559  onsucsssucexmid  4563  onsucelsucexmid  4566  ordsoexmid  4598  ordpwsucexmid  4606  ordtri2or2exmid  4607  ontri2orexmidim  4608  tfr0dm  6380  1on  6481  ordgt0ge1  6493  omv  6513  oa0  6515  om0  6516  oei0  6517  omcl  6519  omv2  6523  oaword1  6529  nna0r  6536  nnm0r  6537  card0  7255