Theorem 0elon 4410

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4409	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4145	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4392	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2160   (/)c0 3437   Ord word 4380   Oncon0 4381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-nul 4144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-uni 3825  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386

This theorem is referenced by:  inton  4411  onn0  4418  onm  4419  limon  4530  ordtriexmid  4538  ontriexmidim  4539  ordtri2orexmid  4540  onsucsssucexmid  4544  onsucelsucexmid  4547  ordsoexmid  4579  ordpwsucexmid  4587  ordtri2or2exmid  4588  ontri2orexmidim  4589  tfr0dm  6346  1on  6447  ordgt0ge1  6459  omv  6479  oa0  6481  om0  6482  oei0  6483  omcl  6485  omv2  6489  oaword1  6495  nna0r  6502  nnm0r  6503  card0  7216