Theorem 0elon 4537

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4536	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4260	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4519	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   (/)c0 3520   Ord word 4507   Oncon0 4508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-nul 4259

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-uni 3936  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513

This theorem is used by:  inton  4538  onn0  4545  onm  4546  limon  4660  ordtriexmid  4668  ontriexmidim  4669  ordtri2orexmid  4670  onsucsssucexmid  4674  onsucelsucexmid  4677  ordsoexmid  4709  ordpwsucexmid  4717  ordtri2or2exmid  4718  ontri2orexmidim  4719  tfr0dm  6593  1on  6694  ordgt0ge1  6708  omv  6728  oa0  6730  om0  6731  oei0  6732  omcl  6734  omv2  6738  oaword1  6744  nna0r  6751  nnm0r  6752  card0  7533