Theorem 0elon 4428

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4427	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4161	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4410	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2167   (/)c0 3451   Ord word 4398   Oncon0 4399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-nul 4160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-uni 3841  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404

This theorem is referenced by:  inton  4429  onn0  4436  onm  4437  limon  4550  ordtriexmid  4558  ontriexmidim  4559  ordtri2orexmid  4560  onsucsssucexmid  4564  onsucelsucexmid  4567  ordsoexmid  4599  ordpwsucexmid  4607  ordtri2or2exmid  4608  ontri2orexmidim  4609  tfr0dm  6381  1on  6482  ordgt0ge1  6494  omv  6514  oa0  6516  om0  6517  oei0  6518  omcl  6520  omv2  6524  oaword1  6530  nna0r  6537  nnm0r  6538  card0  7256