Theorem 0elon 4532

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4531	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4255	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4514	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 2209   (/)c0 3520   Ord word 4502   Oncon0 4503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-nul 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-uni 3931  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508

This theorem is referenced by:  inton  4533  onn0  4540  onm  4541  limon  4655  ordtriexmid  4663  ontriexmidim  4664  ordtri2orexmid  4665  onsucsssucexmid  4669  onsucelsucexmid  4672  ordsoexmid  4704  ordpwsucexmid  4712  ordtri2or2exmid  4713  ontri2orexmidim  4714  tfr0dm  6583  1on  6684  ordgt0ge1  6698  omv  6718  oa0  6720  om0  6721  oei0  6722  omcl  6724  omv2  6728  oaword1  6734  nna0r  6741  nnm0r  6742  card0  7523