Theorem 0elon 4539

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4538	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 4262	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4521	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 146	1 |- (/) e. On

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   (/)c0 3520   Ord word 4509   Oncon0 4510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-nul 4261

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-uni 3936  df-tr 4232  df-iord 4513  df-on 4515

This theorem is used by:  inton  4540  onn0  4547  onm  4548  limon  4662  ordtriexmid  4670  ontriexmidim  4671  ordtri2orexmid  4672  onsucsssucexmid  4676  onsucelsucexmid  4679  ordsoexmid  4711  ordpwsucexmid  4719  ordtri2or2exmid  4720  ontri2orexmidim  4721  tfr0dm  6597  1on  6698  ordgt0ge1  6712  omv  6732  oa0  6734  om0  6735  oei0  6736  omcl  6738  omv2  6742  oaword1  6748  nna0r  6755  nnm0r  6756  card0  7539