Theorem onm 4239

Description: The class of all ordinal numbers is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
onm	⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ On

Proof of Theorem onm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4230	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		0ex 3974	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
3		eleq1 2151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ On ↔ ∅ ∈ On))
4	2, 3	ceqsexv 2661	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ On) ↔ ∅ ∈ On)
5	1, 4	mpbir 145	. 2 ⊢ ∃𝑥(𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ On)
6		exsimpr 1555	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ On) → ∃𝑥 𝑥 ∈ On)
7	5, 6	ax-mp 7	1 ⊢ ∃𝑥 𝑥 ∈ On

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1290  ∃wex 1427   ∈ wcel 1439  ∅c0 3289  Oncon0 4201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-nul 3973

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-dif 3004  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-uni 3662  df-tr 3945  df-iord 4204  df-on 4206

This theorem is referenced by: (None)