Theorem suceq 4547

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	|- ( A = B -> suc A = suc B )

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( A = B -> A = B )
2		sneq 3720	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
3	1, 2	uneq12d 3384	. 2 |- ( A = B -> ( A u. { A } ) = ( B u. { B } ) )
4		df-suc 4516	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
5		df-suc 4516	. 2 |- suc B = ( B u. { B } )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2296	1 |- ( A = B -> suc A = suc B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   u. cun 3218   {csn 3709   suc csuc 4510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-suc 4516

This theorem is used by:  eqelsuc  4564  2ordpr  4671  onsucsssucexmid  4674  onsucelsucexmid  4677  ordsucunielexmid  4678  suc11g  4704  onsucuni2  4711  0elsucexmid  4712  ordpwsucexmid  4717  peano2  4742  findes  4750  nn0suc  4751  0elnn  4766  omsinds  4769  tfr1onlemsucaccv  6612  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcl  6635  frecabcl  6670  frecsuc  6678  sucinc  6718  sucinc2  6719  oacl  6733  oav2  6736  oasuc  6737  oa1suc  6740  nna0r  6751  nnacom  6757  nnaass  6758  nnmsucr  6761  nnsucelsuc  6764  nnsucsssuc  6765  nnaword  6784  nnaordex  6801  phplem3g  7157  nneneq  7158  php5  7159  php5dom  7164  omp1eomlem  7434  omp1eom  7435  nninfninc  7463  nnnninfeq  7468  nnnninfeq2  7469  nninfwlpoimlemg  7515  nninfwlpoimlemginf  7516  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  indpi  7709  ennnfoneleminc  13302  ennnfonelemex  13305  bj-indsuc  16954  bj-bdfindes  16975  bj-nn0suc0  16976  bj-peano4  16981  bj-inf2vnlem1  16996  bj-nn0sucALT  17004  bj-findes  17007  nnsf  17048  nninfsellemdc  17053  nninfself  17056  nninfsellemeqinf  17059  nninfomni  17062