Theorem suceq 4493

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	|- ( A = B -> suc A = suc B )

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( A = B -> A = B )
2		sneq 3677	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
3	1, 2	uneq12d 3359	. 2 |- ( A = B -> ( A u. { A } ) = ( B u. { B } ) )
4		df-suc 4462	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
5		df-suc 4462	. 2 |- suc B = ( B u. { B } )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2287	1 |- ( A = B -> suc A = suc B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   u. cun 3195   {csn 3666   suc csuc 4456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-suc 4462

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4510  2ordpr  4616  onsucsssucexmid  4619  onsucelsucexmid  4622  ordsucunielexmid  4623  suc11g  4649  onsucuni2  4656  0elsucexmid  4657  ordpwsucexmid  4662  peano2  4687  findes  4695  nn0suc  4696  0elnn  4711  omsinds  4714  tfr1onlemsucaccv  6487  tfrcllemsucaccv  6500  tfrcl  6510  frecabcl  6545  frecsuc  6553  sucinc  6591  sucinc2  6592  oacl  6606  oav2  6609  oasuc  6610  oa1suc  6613  nna0r  6624  nnacom  6630  nnaass  6631  nnmsucr  6634  nnsucelsuc  6637  nnsucsssuc  6638  nnaword  6657  nnaordex  6674  phplem3g  7017  nneneq  7018  php5  7019  php5dom  7024  omp1eomlem  7261  omp1eom  7262  nninfninc  7290  nnnninfeq  7295  nnnninfeq2  7296  nninfwlpoimlemg  7342  nninfwlpoimlemginf  7343  nninfwlpoim  7346  nninfinfwlpo  7347  indpi  7529  ennnfoneleminc  12982  ennnfonelemex  12985  bj-indsuc  16291  bj-bdfindes  16312  bj-nn0suc0  16313  bj-peano4  16318  bj-inf2vnlem1  16333  bj-nn0sucALT  16341  bj-findes  16344  nnsf  16371  nninfsellemdc  16376  nninfself  16379  nninfsellemeqinf  16382  nninfomni  16385