Theorem suceq 4404

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	|- ( A = B -> suc A = suc B )

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( A = B -> A = B )
2		sneq 3605	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
3	1, 2	uneq12d 3292	. 2 |- ( A = B -> ( A u. { A } ) = ( B u. { B } ) )
4		df-suc 4373	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
5		df-suc 4373	. 2 |- suc B = ( B u. { B } )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2235	1 |- ( A = B -> suc A = suc B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   u. cun 3129   {csn 3594   suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4421  2ordpr  4525  onsucsssucexmid  4528  onsucelsucexmid  4531  ordsucunielexmid  4532  suc11g  4558  onsucuni2  4565  0elsucexmid  4566  ordpwsucexmid  4571  peano2  4596  findes  4604  nn0suc  4605  0elnn  4620  omsinds  4623  tfr1onlemsucaccv  6344  tfrcllemsucaccv  6357  tfrcl  6367  frecabcl  6402  frecsuc  6410  sucinc  6448  sucinc2  6449  oacl  6463  oav2  6466  oasuc  6467  oa1suc  6470  nna0r  6481  nnacom  6487  nnaass  6488  nnmsucr  6491  nnsucelsuc  6494  nnsucsssuc  6495  nnaword  6514  nnaordex  6531  phplem3g  6858  nneneq  6859  php5  6860  php5dom  6865  omp1eomlem  7095  omp1eom  7096  nnnninfeq  7128  nnnninfeq2  7129  nninfwlpoimlemg  7175  nninfwlpoimlemginf  7176  nninfwlpoim  7178  indpi  7343  ennnfoneleminc  12414  ennnfonelemex  12417  bj-indsuc  14719  bj-bdfindes  14740  bj-nn0suc0  14741  bj-peano4  14746  bj-inf2vnlem1  14761  bj-nn0sucALT  14769  bj-findes  14772  nnsf  14793  nninfsellemdc  14798  nninfself  14801  nninfsellemeqinf  14804  nninfomni  14807