Theorem suceq 4404

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	|- ( A = B -> suc A = suc B )

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( A = B -> A = B )
2		sneq 3605	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
3	1, 2	uneq12d 3292	. 2 |- ( A = B -> ( A u. { A } ) = ( B u. { B } ) )
4		df-suc 4373	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
5		df-suc 4373	. 2 |- suc B = ( B u. { B } )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2235	1 |- ( A = B -> suc A = suc B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   u. cun 3129   {csn 3594   suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4421  2ordpr  4525  onsucsssucexmid  4528  onsucelsucexmid  4531  ordsucunielexmid  4532  suc11g  4558  onsucuni2  4565  0elsucexmid  4566  ordpwsucexmid  4571  peano2  4596  findes  4604  nn0suc  4605  0elnn  4620  omsinds  4623  tfr1onlemsucaccv  6345  tfrcllemsucaccv  6358  tfrcl  6368  frecabcl  6403  frecsuc  6411  sucinc  6449  sucinc2  6450  oacl  6464  oav2  6467  oasuc  6468  oa1suc  6471  nna0r  6482  nnacom  6488  nnaass  6489  nnmsucr  6492  nnsucelsuc  6495  nnsucsssuc  6496  nnaword  6515  nnaordex  6532  phplem3g  6859  nneneq  6860  php5  6861  php5dom  6866  omp1eomlem  7096  omp1eom  7097  nnnninfeq  7129  nnnninfeq2  7130  nninfwlpoimlemg  7176  nninfwlpoimlemginf  7177  nninfwlpoim  7179  indpi  7344  ennnfoneleminc  12415  ennnfonelemex  12418  bj-indsuc  14868  bj-bdfindes  14889  bj-nn0suc0  14890  bj-peano4  14895  bj-inf2vnlem1  14910  bj-nn0sucALT  14918  bj-findes  14921  nnsf  14943  nninfsellemdc  14948  nninfself  14951  nninfsellemeqinf  14954  nninfomni  14957