Theorem raleqbi1dv 2740

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	|- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2728	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )
2		raleqd.1	. . 3 |- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	ralbidv 2530	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. B ph <-> A. x e. B ps ) )
4	1, 3	bitrd 188	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513

This theorem is referenced by:  frforeq2  4440  weeq2  4452  peano5  4694  isoeq4  5940  exmidomni  7332  tapeq2  7462  pitonn  8058  peano1nnnn  8062  peano2nnnn  8063  peano5nnnn  8102  peano5nni  9136  1nn  9144  peano2nn  9145  dfuzi  9580  mhmpropd  13539  issubm  13545  isghm  13820  ghmeql  13844  iscmn  13870  dfrhm2  14158  islssm  14361  islssmg  14362  istopg  14713  isbasisg  14758  basis2  14762  eltg2  14767  ispsmet  15037  ismet  15058  isxmet  15059  metrest  15220  cncfval  15286  bj-indeq  16460  bj-nntrans  16482