Theorem raleqbi1dv 2702

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	|- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2690	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )
2		raleqd.1	. . 3 |- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	ralbidv 2494	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. B ph <-> A. x e. B ps ) )
4	1, 3	bitrd 188	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   A.wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477

This theorem is referenced by:  frforeq2  4377  weeq2  4389  peano5  4631  isoeq4  5848  exmidomni  7203  tapeq2  7315  pitonn  7910  peano1nnnn  7914  peano2nnnn  7915  peano5nnnn  7954  peano5nni  8987  1nn  8995  peano2nn  8996  dfuzi  9430  mhmpropd  13041  issubm  13047  isghm  13316  ghmeql  13340  iscmn  13366  dfrhm2  13653  islssm  13856  islssmg  13857  istopg  14178  isbasisg  14223  basis2  14227  eltg2  14232  ispsmet  14502  ismet  14523  isxmet  14524  metrest  14685  cncfval  14751  bj-indeq  15491  bj-nntrans  15513