Theorem raleqbi1dv 2742

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	|- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2730	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )
2		raleqd.1	. . 3 |- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	ralbidv 2532	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. B ph <-> A. x e. B ps ) )
4	1, 3	bitrd 188	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   A.wral 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515

This theorem is referenced by:  frforeq2  4442  weeq2  4454  peano5  4696  isoeq4  5944  exmidomni  7340  tapeq2  7471  pitonn  8067  peano1nnnn  8071  peano2nnnn  8072  peano5nnnn  8111  peano5nni  9145  1nn  9153  peano2nn  9154  dfuzi  9589  mhmpropd  13548  issubm  13554  isghm  13829  ghmeql  13853  iscmn  13879  dfrhm2  14167  islssm  14370  islssmg  14371  istopg  14722  isbasisg  14767  basis2  14771  eltg2  14776  ispsmet  15046  ismet  15067  isxmet  15068  metrest  15229  cncfval  15295  bj-indeq  16524  bj-nntrans  16546