Theorem raleqbi1dv 2705

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 16-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleqd.1	|- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
raleqbi1dv	|- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem raleqbi1dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2693	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ph ) )
2		raleqd.1	. . 3 |- ( A = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	ralbidv 2497	. 2 |- ( A = B -> ( A. x e. B ph <-> A. x e. B ps ) )
4	1, 3	bitrd 188	1 |- ( A = B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  frforeq2  4380  weeq2  4392  peano5  4634  isoeq4  5851  exmidomni  7208  tapeq2  7320  pitonn  7915  peano1nnnn  7919  peano2nnnn  7920  peano5nnnn  7959  peano5nni  8993  1nn  9001  peano2nn  9002  dfuzi  9436  mhmpropd  13098  issubm  13104  isghm  13373  ghmeql  13397  iscmn  13423  dfrhm2  13710  islssm  13913  islssmg  13914  istopg  14235  isbasisg  14280  basis2  14284  eltg2  14289  ispsmet  14559  ismet  14580  isxmet  14581  metrest  14742  cncfval  14808  bj-indeq  15575  bj-nntrans  15597