Theorem tpssi 3746

Description: A triple of elements of a class is a subset of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tpssi	|- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B , C } C_ D )

Proof of Theorem tpssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3591	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		prssi 3738	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ B e. D ) -> { A , B } C_ D )
3	2	3adant3 1012	. . 3 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B } C_ D )
4		snssi 3724	. . . 4 |- ( C e. D -> { C } C_ D )
5	4	3ad2ant3 1015	. . 3 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { C } C_ D )
6	3, 5	unssd 3303	. 2 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> ( { A , B } u. { C } ) C_ D )
7	1, 6	eqsstrid 3193	1 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B , C } C_ D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121   {csn 3583   {cpr 3584   {ctp 3585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591

This theorem is referenced by: (None)