Theorem tpssi 3694

Description: A triple of elements of a class is a subset of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tpssi	|- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B , C } C_ D )

Proof of Theorem tpssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3540	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		prssi 3686	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ B e. D ) -> { A , B } C_ D )
3	2	3adant3 1002	. . 3 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B } C_ D )
4		snssi 3672	. . . 4 |- ( C e. D -> { C } C_ D )
5	4	3ad2ant3 1005	. . 3 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { C } C_ D )
6	3, 5	unssd 3257	. 2 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> ( { A , B } u. { C } ) C_ D )
7	1, 6	eqsstrid 3148	1 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B , C } C_ D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   e. wcel 1481   u. cun 3074   C_ wss 3076   {csn 3532   {cpr 3533   {ctp 3534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-tp 3540

This theorem is referenced by: (None)