Theorem tpssi 3739

Description: A triple of elements of a class is a subset of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tpssi	|- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B , C } C_ D )

Proof of Theorem tpssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3584	. 2 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
2		prssi 3731	. . . 4 |- ( ( A e. D /\ B e. D ) -> { A , B } C_ D )
3	2	3adant3 1007	. . 3 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B } C_ D )
4		snssi 3717	. . . 4 |- ( C e. D -> { C } C_ D )
5	4	3ad2ant3 1010	. . 3 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { C } C_ D )
6	3, 5	unssd 3298	. 2 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> ( { A , B } u. { C } ) C_ D )
7	1, 6	eqsstrid 3188	1 |- ( ( A e. D /\ B e. D /\ C e. D ) -> { A , B , C } C_ D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 968   e. wcel 2136   u. cun 3114   C_ wss 3116   {csn 3576   {cpr 3577   {ctp 3578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584

This theorem is referenced by: (None)