Theorem unssd 3395

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	|- ( ph -> A C_ C )
unssd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
unssd	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ C )
2		unssd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		unss 3393	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )
4	3	biimpi 120	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A u. B ) C_ C )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   u. cun 3209   C_ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  tpssi  3863  casef  7379  un0addcl  9529  un0mulcl  9530  fzosplit  10513  fzouzsplit  10515  ccatrn  11297  4sqlem11  13099  4sqlem19  13107  exmidunben  13177  strleund  13316  lsptpcl  14542  lspun  14550  fsumcncntop  15432  plyf  15602  elplyr  15605  elplyd  15606  ply1term  15608  plyaddlem  15614  plymullem  15615  plycolemc  15623  plycjlemc  15625  plycj  15626  plycn  15627  dvply2g  15631  perfectlem2  15868  bj-charfun  16577  bj-omtrans  16726  gfsumcl  16870