Theorem unssd 3349

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	|- ( ph -> A C_ C )
unssd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
unssd	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ C )
2		unssd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		unss 3347	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )
4	3	biimpi 120	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A u. B ) C_ C )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   u. cun 3164   C_ wss 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179

This theorem is referenced by:  tpssi  3800  casef  7192  un0addcl  9330  un0mulcl  9331  fzosplit  10303  fzouzsplit  10305  ccatrn  11068  4sqlem11  12757  4sqlem19  12765  exmidunben  12830  strleund  12968  lsptpcl  14189  lspun  14197  fsumcncntop  15072  plyf  15242  elplyr  15245  elplyd  15246  ply1term  15248  plyaddlem  15254  plymullem  15255  plycolemc  15263  plycjlemc  15265  plycj  15266  plycn  15267  dvply2g  15271  perfectlem2  15505  bj-charfun  15780  bj-omtrans  15929