Theorem unssd 3405

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	|- ( ph -> A C_ C )
unssd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
unssd	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ C )
2		unssd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		unss 3403	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )
4	3	biimpi 120	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A u. B ) C_ C )
5	1, 2, 4	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   u. cun 3218   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  tpssi  3884  casef  7434  un0addcl  9607  un0mulcl  9608  fzosplit  10603  fzouzsplit  10605  hashf1lem1  11307  hashf1lem2  11308  ccatrn  11399  4sqlem11  13209  4sqlem19  13217  exmidunben  13375  strleund  13516  gsumclfi  14249  gsummptfidmadd  14251  gsumsubmclfi  14253  gsumresfi  14263  gsum2dfilem2  14272  lsptpcl  14840  lspun  14848  fsumcncntop  15793  plyf  15963  elplyr  15966  elplyd  15967  ply1term  15969  plyaddlem  15975  plymullem  15976  plycolemc  15984  plycjlemc  15986  plycj  15987  plycn  15988  dvply2g  15992  perfectlem2  16300  bj-charfun  17038  bj-omtrans  17187