Theorem unssd 3340

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	|- ( ph -> A C_ C )
unssd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
unssd	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ C )
2		unssd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		unss 3338	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )
4	3	biimpi 120	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A u. B ) C_ C )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   u. cun 3155   C_ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  tpssi  3790  casef  7163  un0addcl  9299  un0mulcl  9300  fzosplit  10270  fzouzsplit  10272  4sqlem11  12595  4sqlem19  12603  exmidunben  12668  strleund  12806  lsptpcl  14026  lspun  14034  fsumcncntop  14887  plyf  15057  elplyr  15060  elplyd  15061  ply1term  15063  plyaddlem  15069  plymullem  15070  plycolemc  15078  plycjlemc  15080  plycj  15081  plycn  15082  dvply2g  15086  perfectlem2  15320  bj-charfun  15537  bj-omtrans  15686