Theorem unssd 3283

Description: A deduction showing the union of two subclasses is a subclass. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
unssd.1	|- ( ph -> A C_ C )
unssd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
unssd	|- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Proof of Theorem unssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unssd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ C )
2		unssd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
3		unss 3281	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) <-> ( A u. B ) C_ C )
4	3	biimpi 119	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A u. B ) C_ C )
5	1, 2, 4	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A u. B ) C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   u. cun 3100   C_ wss 3102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115

This theorem is referenced by:  tpssi  3722  casef  7022  un0addcl  9106  un0mulcl  9107  fzosplit  10058  fzouzsplit  10060  exmidunben  12127  strleund  12238  fsumcncntop  12916  bj-charfun  13341  bj-omtrans  13490