Theorem unidif 3804

Description: If the difference A \ B contains the largest members of A, then the union of the difference is the union of A. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif	|- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. ( A \ B ) = U. A )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem unidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss2 3803	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. A C_ U. ( A \ B ) )
2		difss 3233	. . . 4 |- ( A \ B ) C_ A
3	2	unissi 3795	. . 3 |- U. ( A \ B ) C_ U. A
4	1, 3	jctil 310	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> ( U. ( A \ B ) C_ U. A /\ U. A C_ U. ( A \ B ) ) )
5		eqss 3143	. 2 |- ( U. ( A \ B ) = U. A <-> ( U. ( A \ B ) C_ U. A /\ U. A C_ U. ( A \ B ) ) )
6	4, 5	sylibr 133	1 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. ( A \ B ) = U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   A.wral 2435   E.wrex 2436   \ cdif 3099   C_ wss 3102   U.cuni 3772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-uni 3773

This theorem is referenced by: (None)