Theorem unidif 3842

Description: If the difference A \ B contains the largest members of A, then the union of the difference is the union of A. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif	|- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. ( A \ B ) = U. A )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem unidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss2 3841	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. A C_ U. ( A \ B ) )
2		difss 3262	. . . 4 |- ( A \ B ) C_ A
3	2	unissi 3833	. . 3 |- U. ( A \ B ) C_ U. A
4	1, 3	jctil 312	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> ( U. ( A \ B ) C_ U. A /\ U. A C_ U. ( A \ B ) ) )
5		eqss 3171	. 2 |- ( U. ( A \ B ) = U. A <-> ( U. ( A \ B ) C_ U. A /\ U. A C_ U. ( A \ B ) ) )
6	4, 5	sylibr 134	1 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. ( A \ B ) = U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   A.wral 2455   E.wrex 2456   \ cdif 3127   C_ wss 3130   U.cuni 3810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-in 3136  df-ss 3143  df-uni 3811

This theorem is referenced by: (None)