Theorem ssunieq 3686

Description: Relationship implying union. (Contributed by NM, 10-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssunieq	|- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssunieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3681	. . 3 |- ( A e. B -> A C_ U. B )
2		unissb 3683	. . . 4 |- ( U. B C_ A <-> A. x e. B x C_ A )
3	2	biimpri 131	. . 3 |- ( A. x e. B x C_ A -> U. B C_ A )
4	1, 3	anim12i 331	. 2 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
5		eqss 3040	. 2 |- ( A = U. B <-> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
6	4, 5	sylibr 132	1 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   C_ wss 2999   U.cuni 3653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-uni 3654

This theorem is referenced by:  unimax  3687  hashinfuni  10185  hashennnuni  10187