Theorem ssunieq 3844

Description: Relationship implying union. (Contributed by NM, 10-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssunieq	|- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssunieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3839	. . 3 |- ( A e. B -> A C_ U. B )
2		unissb 3841	. . . 4 |- ( U. B C_ A <-> A. x e. B x C_ A )
3	2	biimpri 133	. . 3 |- ( A. x e. B x C_ A -> U. B C_ A )
4	1, 3	anim12i 338	. 2 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
5		eqss 3172	. 2 |- ( A = U. B <-> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
6	4, 5	sylibr 134	1 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   U.cuni 3811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-uni 3812

This theorem is referenced by:  unimax  3845  hashinfuni  10760  hashennnuni  10762