Theorem ssunieq 3777

Description: Relationship implying union. (Contributed by NM, 10-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssunieq	|- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssunieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3772	. . 3 |- ( A e. B -> A C_ U. B )
2		unissb 3774	. . . 4 |- ( U. B C_ A <-> A. x e. B x C_ A )
3	2	biimpri 132	. . 3 |- ( A. x e. B x C_ A -> U. B C_ A )
4	1, 3	anim12i 336	. 2 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
5		eqss 3117	. 2 |- ( A = U. B <-> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
6	4, 5	sylibr 133	1 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-uni 3745

This theorem is referenced by:  unimax  3778  hashinfuni  10555  hashennnuni  10557