Theorem eqss 3253

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	|- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Proof of Theorem eqss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1536	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
2		dfcleq 2226	. 2 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
3		ssalel 3226	. . 3 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4		ssalel 3226	. . 3 |- ( B C_ A <-> A. x ( x e. B -> x e. A ) )
5	3, 4	anbi12i 460	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 212	1 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  eqssi  3254  eqssd  3255  sseq1  3261  sseq2  3262  eqimss  3292  ssrabeq  3326  uneqin  3472  ss0b  3548  vss  3556  sssnm  3858  unidif  3946  ssunieq  3947  iuneq1  4004  iuneq2  4007  iunxdif2  4040  ssext  4337  pweqb  4339  eqopab2b  4398  pwunim  4407  soeq2  4437  iunpw  4601  ordunisuc2r  4636  tfi  4704  eqrel  4839  eqrelrel  4851  coeq1  4912  coeq2  4913  cnveq  4929  dmeq  4956  relssres  5076  xp11m  5201  xpcanm  5202  xpcan2m  5203  ssrnres  5205  fnres  5475  eqfnfv3  5777  fneqeql2  5787  fconst4m  5904  f1imaeq  5948  eqoprab2b  6111  fo1stresm  6355  fo2ndresm  6356  nnacan  6745  nnmcan  6752  ixpeq2  6947  sbthlemi3  7229  wrdeq  11246  isprm2  12814  lssle0  14520  bastop1  14948  epttop  14955  opnneiid  15029  cnntr  15090  metequiv  15360  bj-sseq  16564  bdeq0  16637  bdvsn  16644  bdop  16645  bdeqsuc  16651  bj-om  16707