Theorem eqss 3152

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	|- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Proof of Theorem eqss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1474	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
2		dfcleq 2158	. 2 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
3		dfss2 3126	. . 3 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4		dfss2 3126	. . 3 |- ( B C_ A <-> A. x ( x e. B -> x e. A ) )
5	3, 4	anbi12i 456	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1340   = wceq 1342   e. wcel 2135   C_ wss 3111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-11 1493  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-in 3117  df-ss 3124

This theorem is referenced by:  eqssi  3153  eqssd  3154  sseq1  3160  sseq2  3161  eqimss  3191  ssrabeq  3224  uneqin  3368  ss0b  3443  vss  3451  sssnm  3728  unidif  3815  ssunieq  3816  iuneq1  3873  iuneq2  3876  iunxdif2  3908  ssext  4193  pweqb  4195  eqopab2b  4251  pwunim  4258  soeq2  4288  iunpw  4452  ordunisuc2r  4485  tfi  4553  eqrel  4687  eqrelrel  4699  coeq1  4755  coeq2  4756  cnveq  4772  dmeq  4798  relssres  4916  xp11m  5036  xpcanm  5037  xpcan2m  5038  ssrnres  5040  fnres  5298  eqfnfv3  5579  fneqeql2  5588  fconst4m  5699  f1imaeq  5737  eqoprab2b  5891  fo1stresm  6121  fo2ndresm  6122  nnacan  6471  nnmcan  6478  ixpeq2  6669  sbthlemi3  6915  isprm2  12028  bastop1  12624  epttop  12631  opnneiid  12705  cnntr  12766  metequiv  13036  bj-sseq  13508  bdeq0  13584  bdvsn  13591  bdop  13592  bdeqsuc  13598  bj-om  13654