Theorem eqss 3112

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	|- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Proof of Theorem eqss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1463	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
2		dfcleq 2133	. 2 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
3		dfss2 3086	. . 3 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4		dfss2 3086	. . 3 |- ( B C_ A <-> A. x ( x e. B -> x e. A ) )
5	3, 4	anbi12i 455	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 211	1 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  eqssi  3113  eqssd  3114  sseq1  3120  sseq2  3121  eqimss  3151  ssrabeq  3183  uneqin  3327  ss0b  3402  vss  3410  sssnm  3681  unidif  3768  ssunieq  3769  iuneq1  3826  iuneq2  3829  iunxdif2  3861  ssext  4143  pweqb  4145  eqopab2b  4201  pwunim  4208  soeq2  4238  iunpw  4401  ordunisuc2r  4430  tfi  4496  eqrel  4628  eqrelrel  4640  coeq1  4696  coeq2  4697  cnveq  4713  dmeq  4739  relssres  4857  xp11m  4977  xpcanm  4978  xpcan2m  4979  ssrnres  4981  fnres  5239  eqfnfv3  5520  fneqeql2  5529  fconst4m  5640  f1imaeq  5676  eqoprab2b  5829  fo1stresm  6059  fo2ndresm  6060  nnacan  6408  nnmcan  6415  ixpeq2  6606  sbthlemi3  6847  isprm2  11798  bastop1  12252  epttop  12259  opnneiid  12333  cnntr  12394  metequiv  12664  bj-sseq  12999  bdeq0  13065  bdvsn  13072  bdop  13073  bdeqsuc  13079  bj-om  13135