MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  an6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem an6 1438
Description: Rearrangement of 6 conjuncts. (Contributed by NM, 13-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
an6 (((𝜑𝜓𝜒) ∧ (𝜃𝜏𝜂)) ↔ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜓𝜏) ∧ (𝜒𝜂)))

Proof of Theorem an6
StepHypRef Expression
1 an4 654 . . 3 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃𝜏) ∧ 𝜂)) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ (𝜃𝜏)) ∧ (𝜒𝜂)))
2 an4 654 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∧ (𝜃𝜏)) ↔ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜓𝜏)))
32anbi1i 625 . . 3 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝜃𝜏)) ∧ (𝜒𝜂)) ↔ (((𝜑𝜃) ∧ (𝜓𝜏)) ∧ (𝜒𝜂)))
41, 3bitri 277 . 2 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃𝜏) ∧ 𝜂)) ↔ (((𝜑𝜃) ∧ (𝜓𝜏)) ∧ (𝜒𝜂)))
5 df-3an 1083 . . 3 ((𝜑𝜓𝜒) ↔ ((𝜑𝜓) ∧ 𝜒))
6 df-3an 1083 . . 3 ((𝜃𝜏𝜂) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ 𝜂))
75, 6anbi12i 628 . 2 (((𝜑𝜓𝜒) ∧ (𝜃𝜏𝜂)) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃𝜏) ∧ 𝜂)))
8 df-3an 1083 . 2 (((𝜑𝜃) ∧ (𝜓𝜏) ∧ (𝜒𝜂)) ↔ (((𝜑𝜃) ∧ (𝜓𝜏)) ∧ (𝜒𝜂)))
94, 7, 83bitr4i 305 1 (((𝜑𝜓𝜒) ∧ (𝜃𝜏𝜂)) ↔ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜓𝜏) ∧ (𝜒𝜂)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398  w3a 1081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-3an 1083
This theorem is referenced by:  3an6  1439  elfzuzb  12894  fzadd2  12934  ptbasin  22177  iimulcl  23533  nb3grpr  27156  nb3grpr2  27157  txpconn  32467  paddasslem9  36946  paddasslem10  36947  gboge9  43909
  Copyright terms: Public domain W3C validator