Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem10 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem10 38695
Description: Lemma for paddass 38704. Use paddasslem4 38689 to eliminate 𝑠 from paddasslem9 38694. (Contributed by NM, 9-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem10
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl11 1248 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3l 1228 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
3 simpl3r 1229 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
41, 2, 33jca 1128 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
5 an6 1445 . . . . . 6 (((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) ↔ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)))
6 ssel2 3977 . . . . . . 7 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7 ssel2 3977 . . . . . . 7 ((π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
8 ssel2 3977 . . . . . . 7 ((𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
96, 7, 83anim123i 1151 . . . . . 6 (((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
105, 9sylbi 216 . . . . 5 (((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
11103ad2antl2 1186 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
1211adantrr 715 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
13 simpl12 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 β‰  𝑧)
14 simpl13 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
15 simprr1 1221 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
1613, 14, 153jca 1128 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
17 simprr2 1222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))
18 simprr3 1223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
19 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
20 paddasslem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
21 paddasslem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2219, 20, 21paddasslem4 38689 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))
234, 12, 16, 17, 18, 22syl32anc 1378 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))
24 simpl2 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴))
25 simpl3 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
261, 24, 253jca 1128 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)))
2726adantr 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)))
28 simplrl 775 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍))
2915, 18jca 512 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
3029adantr 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
31 simprl 769 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
32 simprrl 779 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
33 simprrr 780 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))
3431, 32, 333jca 1128 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))
35 paddasslem.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
3619, 20, 21, 35paddasslem9 38694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
3727, 28, 30, 34, 36syl13anc 1372 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
3823, 37rexlimddv 3161 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  lecple 17203  joincjn 18263  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  +𝑃cpadd 38661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-padd 38662
This theorem is referenced by:  paddasslem14  38699
  Copyright terms: Public domain W3C validator