Theorem fzadd2 13462

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzadd2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Proof of Theorem fzadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 13415	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
2		elfz1 13415	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑂...𝑃) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
3	1, 2	bi2anan9 638	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))))
4		an6 1447	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
5		zre 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ ℤ → 𝑂 ∈ ℝ)
7	5, 6	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ))
8		zre 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
9		zre 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10	8, 9	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
11		le2add 11602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
12	7, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13	12	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
14	13	3adantr3 1172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
15	14	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
16		zre 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		zre 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
18	16, 17	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
19		le2add 11602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
20	10, 18, 19	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
21	20	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
22	21	3adantr2 1171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
23	22	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
24		zaddcl 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
25		zaddcl 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ)
26		zaddcl 12515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ)
27		elfz 13416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
28	24, 25, 26, 27	syl3an 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
29	28	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
30	29	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
31	30	3ad2antr1 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
32	15, 23, 31	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
34	33	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
35	4, 34	biimtrid 242	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
36	3, 35	sylbid 240	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   + caddc 11012   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  fzadd2d  41961