Theorem fzadd2 13581

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzadd2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Proof of Theorem fzadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 13534	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
2		elfz1 13534	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑂...𝑃) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
3	1, 2	bi2anan9 638	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))))
4		an6 1447	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
5		zre 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ ℤ → 𝑂 ∈ ℝ)
7	5, 6	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ))
8		zre 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
9		zre 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10	8, 9	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
11		le2add 11724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
12	7, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13	12	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
14	13	3adantr3 1172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
15	14	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
16		zre 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		zre 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
18	16, 17	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
19		le2add 11724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
20	10, 18, 19	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
21	20	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
22	21	3adantr2 1171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
23	22	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
24		zaddcl 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
25		zaddcl 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ)
26		zaddcl 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ)
27		elfz 13535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
28	24, 25, 26, 27	syl3an 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
29	28	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
30	29	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
31	30	3ad2antr1 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
32	15, 23, 31	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
34	33	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
35	4, 34	biimtrid 242	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
36	3, 35	sylbid 240	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   ≤ cle 11275  ℤcz 12593  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  fzadd2d  41996