Theorem fzadd2 12936

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzadd2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Proof of Theorem fzadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 12891	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
2		elfz1 12891	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑂...𝑃) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
3	1, 2	bi2anan9 637	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))))
4		an6 1441	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)))
5		zre 11979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		zre 11979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑂 ∈ ℤ → 𝑂 ∈ ℝ)
7	5, 6	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ))
8		zre 11979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
9		zre 11979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10	8, 9	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
11		le2add 11116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
12	7, 10, 11	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
13	12	impr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
14	13	3adantr3 1167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
15	14	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
16		zre 11979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		zre 11979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
18	16, 17	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
19		le2add 11116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
20	10, 18, 19	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
21	20	impr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
22	21	3adantr2 1166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
23	22	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
24		zaddcl 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
25		zaddcl 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ)
26		zaddcl 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ)
27		elfz 12892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
28	24, 25, 26, 27	syl3an 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
29	28	3expb 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
30	29	ancoms 461	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
31	30	3ad2antr1 1184	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
32	15, 23, 31	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
33	32	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
34	33	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝑂 ≤ 𝐾) ∧ (𝐽 ≤ 𝑁 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
35	4, 34	syl5bi 244	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
36	3, 35	sylbid 242	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530   + caddc 10534   ≤ cle 10670  ℤcz 11975  ...cfz 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-fz 12887

This theorem is referenced by: (None)