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Theorem ptbasin 22944
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
Assertion
Ref Expression
ptbasin (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑔,𝑦,𝑧,𝐴   𝑔,π‘Œ,π‘₯   𝑔,𝐹,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,π‘₯,𝑧   𝑔,𝑉,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔)   𝑋(𝑦)   π‘Œ(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ptbasin
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . . . 6 𝐡 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘¦))}
21elpt 22939 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘Ž((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)))
31elpt 22939 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦)))
42, 3anbi12i 628 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ↔ (βˆƒπ‘Ž((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))))
5 exdistrv 1960 . . . 4 (βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘(((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)) ∧ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))) ↔ (βˆƒπ‘Ž((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)) ∧ βˆƒπ‘((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))))
64, 5bitr4i 278 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ↔ βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘(((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)) ∧ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))))
7 an4 655 . . . . 5 ((((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)) ∧ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))) ↔ (((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))))
8 an6 1446 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) ↔ ((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))))
9 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))))
108, 9bitri 275 . . . . . . . 8 (((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))))
11 reeanv 3216 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆƒπ‘‘ ∈ Fin (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))
12 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘¦) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
13 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (π‘β€˜π‘˜))
1412, 13ineq12d 4174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∩ (π‘β€˜π‘˜)))
1514cbvixpv 8856 . . . . . . . . . . . . . 14 X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) = Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∩ (π‘β€˜π‘˜))
16 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
17 unfi 9119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑑) ∈ Fin)
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑑) ∈ Fin)
19 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
2019ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top)
21 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))
22 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘˜))
2312, 22eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜)))
2423rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
2521, 24sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
26 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))
2713, 22eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜)))
2827rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
2926, 28sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
30 inopn 22264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top ∧ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∩ (π‘β€˜π‘˜)) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
3120, 25, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∩ (π‘β€˜π‘˜)) ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
32 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))
33 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑐 βŠ† (𝑐 βˆͺ 𝑑)
34 sscon 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 βŠ† (𝑐 βˆͺ 𝑑) β†’ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑)) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑐))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑)) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑐)
3635sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐))
3722unieqd 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘˜ β†’ βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
3812, 37eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘Žβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
3938rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
4032, 36, 39syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
41 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))
42 ssun2 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑑 βŠ† (𝑐 βˆͺ 𝑑)
43 sscon 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 βŠ† (𝑐 βˆͺ 𝑑) β†’ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑)) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑑))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑)) βŠ† (𝐴 βˆ– 𝑑)
4544sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑))
4613, 37eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘β€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
4746rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
4841, 45, 47syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑))) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
4940, 48ineq12d 4174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑))) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∩ (π‘β€˜π‘˜)) = (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
50 inidm 4179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ∩ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
5149, 50eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– (𝑐 βˆͺ 𝑑))) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∩ (π‘β€˜π‘˜)) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
521, 16, 18, 31, 51elptr2 22941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∩ (π‘β€˜π‘˜)) ∈ 𝐡)
5315, 52eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡)
5453expr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡))
5554rexlimdvva 3202 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆƒπ‘‘ ∈ Fin (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡))
5611, 55biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡))
57563expb 1121 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ ((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡))
5857impr 456 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) ∧ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡)
5910, 58sylan2b 595 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ ((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡)
60 ineq12 4168 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = (X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦)))
61 ixpin 8864 . . . . . . . . 9 X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) = (X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))
6260, 61eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) = X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)))
6362eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦)) β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡 ↔ X𝑦 ∈ 𝐴 ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∩ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ 𝐡))
6459, 63syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ ((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)))) β†’ ((𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡))
6564expimpd 455 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ ((((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡))
667, 65biimtrid 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ ((((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)) ∧ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡))
6766exlimdvv 1938 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘(((π‘Ž Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑐)(π‘Žβ€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑋 = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘Žβ€˜π‘¦)) ∧ ((𝑏 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦) ∈ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– 𝑑)(π‘β€˜π‘¦) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ π‘Œ = X𝑦 ∈ 𝐴 (π‘β€˜π‘¦))) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡))
686, 67biimtrid 241 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡))
6968imp 408 1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  Xcixp 8838  Fincfn 8886  Topctop 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-ixp 8839  df-en 8887  df-fin 8890  df-top 22259
This theorem is referenced by:  ptbasin2  22945
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