Theorem elfzuzb 13457

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuzb	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))

Proof of Theorem elfzuzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		an6 1447	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
3		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4		anandir 677	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
5		an43 658	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
6	3, 4, 5	3bitri 297	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
7	6	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9		elfz2 13453	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10		eluz2 12777	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
11		eluz2 12777	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
12	10, 11	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
13	8, 9, 12	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≤ cle 11187  ℤcz 12507  ℤ_≥cuz 12771  ...cfz 13446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11386  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447

This theorem is referenced by:  eluzfz  13458  elfzuz  13459  elfzuz3  13460  elfzuz2  13468  peano2fzr  13476  fzsplit2  13488  fzass4  13501  fzss1  13502  fzss2  13503  fzp1elp1  13516  fznn  13531  elfz2nn0  13557  elfzofz  13614  fzosplitsnm1  13679  fzofzp1b  13704  fzosplitsn  13714  seqcl2  13963  seqfveq2  13967  monoord  13975  seqid2  13991  bcn1  14256  fz1isolem  14404  seqcoll  14407  ccatrn  14532  swrds1  14609  swrdccat2  14612  spllen  14696  splfv2a  14698  splval2  14699  caubnd  15302  isercolllem2  15609  isercolllem3  15610  summolem2a  15658  fsum0diag2  15726  climcndslem1  15792  mertenslem1  15827  prodmolem2a  15877  vdwlem2  16930  vdwlem8  16936  gexcl3  19502  efginvrel2  19642  efgredleme  19658  efgcpbllemb  19670  1stckgenlem  23474  imasdsf1olem  24295  iscmet3lem1  25225  dvtaylp  26312  mtest  26347  ppisval  27048  ppisval2  27049  chtdif  27102  ppidif  27107  logfaclbnd  27167  bposlem4  27232  dchrisumlem2  27435  pntpbnd1  27531  fzsplit3  32767  mettrifi  37745  monoordxrv  45471  smonoord  47366