Theorem iimulcl 24889

Description: The unit interval is closed under multiplication. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iimulcl	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iimulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3ad2antr1 1189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3ad2antl1 1186	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		mulge0 11760	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
5	4	3adantr3 1172	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	5	3adantl3 1169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7		an6 1447	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)))
8		1re 11240	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		lemul12a 12104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
10	8, 9	mpanr2 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
11	8, 10	mpanl2 701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
12	11	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
13	12	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
14	7, 13	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
15		1t1e1 12407	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
16	14, 15	breqtrdi 5165	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ 1)
17	3, 6, 16	3jca 1128	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
18		elicc01 13488	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
19		elicc01 13488	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1))
20	18, 19	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)))
21		elicc01 13488	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
22	17, 20, 21	3imtr4i 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   ≤ cle 11275  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  iimulcn  24890  iimulcnOLD  24891  iistmd  33938  xrge0iifhom  33973  xrge0pluscn  33976