Theorem iimulcl 24917

Description: The unit interval is closed under multiplication. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iimulcl	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iimulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3ad2antr1 1190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3ad2antl1 1187	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		mulge0 11662	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
5	4	3adantr3 1173	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	5	3adantl3 1170	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7		an6 1448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)))
8		1re 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		lemul12a 12007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
10	8, 9	mpanr2 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
11	8, 10	mpanl2 702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
12	11	an4s 661	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
13	12	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
14	7, 13	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
15		1t1e1 12332	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
16	14, 15	breqtrdi 5127	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ 1)
17	3, 6, 16	3jca 1129	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
18		elicc01 13413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
19		elicc01 13413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1))
20	18, 19	anbi12i 629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)))
21		elicc01 13413	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
22	17, 20, 21	3imtr4i 292	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   ≤ cle 11174  [,]cicc 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-icc 13299

This theorem is referenced by:  iimulcn  24918  iistmd  34065  xrge0iifhom  34100  xrge0pluscn  34103