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Theorem iimulcl 23015
Description: The unit interval is closed under multiplication. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iimulcl ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iimulcl
StepHypRef Expression
1 remulcl 10274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
213ad2antr1 1239 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
323ad2antl1 1236 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4 mulge0 10800 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
543adantr3 1212 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
653adantl3 1209 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7 an6 1569 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)))
8 1re 10293 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
9 lemul12a 11135 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
108, 9mpanr2 695 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
118, 10mpanl2 692 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
1211an4s 650 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
13123impia 1145 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
147, 13sylbi 208 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
15 1t1e1 11440 . . . 4 (1 · 1) = 1
1614, 15syl6breq 4850 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ 1)
173, 6, 163jca 1158 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
18 elicc01 12494 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1))
19 elicc01 12494 . . 3 (𝐵 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1))
2018, 19anbi12i 620 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ 1)))
21 elicc01 12494 . 2 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
2217, 20, 213imtr4i 283 1 ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107  wcel 2155   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cle 10329  [,]cicc 12380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-icc 12384
This theorem is referenced by:  iimulcn  23016  iistmd  30330  xrge0iifhom  30365  xrge0pluscn  30368
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