Theorem iimulcl 24999

Description: The unit interval is closed under multiplication. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iimulcl	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iimulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3ad2antr1 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3ad2antl1 1199	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4		mulge0 11705	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
5	4	3adantr3 1185	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	5	3adantl3 1182	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7		an6 1466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)))
8		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		lemul12a 12049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
10	8, 9	mpanr2 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
11	8, 10	mpanl2 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
12	11	an4s 670	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1)))
13	12	3impia 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ≤ 1 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
14	7, 13	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ (1 · 1))
15		1t1e1 12379	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
16	14, 15	breqtrdi 5141	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ≤ 1)
17	3, 6, 16	3jca 1141	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
18		elicc01 13470	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
19		elicc01 13470	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1))
20	18, 19	anbi12i 637	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 1)))
21		elicc01 13470	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ (𝐴 · 𝐵) ≤ 1))
22	17, 20, 21	3imtr4i 294	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   ≤ cle 11217  [,]cicc 13352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-icc 13356

This theorem is referenced by:  iimulcn  25000  iistmd  34199  xrge0iifhom  34234  xrge0pluscn  34237