Theorem nb3grpr2 29415

Description: The neighbors of a vertex in a simple graph with three elements are an unordered pair of the other vertices iff all vertices are connected with each other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nb3grpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nb3grpr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nb3grpr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
nb3grpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
nb3grpr.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
nb3grpr.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
nb3grpr2	⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐵) = {𝐴, 𝐶} ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐶) = {𝐴, 𝐵})))

Proof of Theorem nb3grpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anan32 1096	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
3		prcom 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
4	3	eleq1i 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸)
5	4	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸)
6	5	pm4.71i 559	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸))
7	6	bianass 642	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸))
8	7	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ ((({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
9		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
11	2, 10	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))))
12		prcom 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
13	12	eleq1i 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ↔ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸)
14	13	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 → {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸)
15	14	pm4.71i 559	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸))
16	15	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸))
17		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸))
18	16, 17	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸))
19		prcom 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
20	19	eleq1i 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ↔ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)
21	20	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 → {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)
22	21	pm4.71i 559	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸))
23	22	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)))
24		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)))
25	23, 24	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸))
26	18, 25	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)))
27		an6 1444	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)))
28	26, 27	bitri 275	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)))
29	11, 28	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸))))
30		nb3grpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31		nb3grpr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
32		nb3grpr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
33		nb3grpr.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
34		nb3grpr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
35	30, 31, 32, 33, 34	nb3grprlem1 29412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵, 𝐶} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸)))
36		tpcoma 4755	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐴, 𝐶}
37	33, 36	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = {𝐵, 𝐴, 𝐶})
38		3ancoma 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ↔ (𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
39	34, 38	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
40	30, 31, 32, 37, 39	nb3grprlem1 29412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 NeighbVtx 𝐵) = {𝐴, 𝐶} ↔ ({𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
41		tprot 4754	. . . . 5 ⊢ {𝐶, 𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
42	33, 41	eqtr4di 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = {𝐶, 𝐴, 𝐵})
43		3anrot 1099	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
44	34, 43	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑍 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌))
45	30, 31, 32, 42, 44	nb3grprlem1 29412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 NeighbVtx 𝐶) = {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸)))
46	35, 40, 45	3anbi123d 1435	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐵) = {𝐴, 𝐶} ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐶) = {𝐴, 𝐵}) ↔ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐵, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐵} ∈ 𝐸))))
47	29, 46	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐺 NeighbVtx 𝐴) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐵) = {𝐴, 𝐶} ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝐶) = {𝐴, 𝐵})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {cpr 4633  {ctp 4635  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Vtxcvtx 29028  Edgcedg 29079  USGraphcusgr 29181   NeighbVtx cnbgr 29364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-usgr 29183  df-nbgr 29365

This theorem is referenced by: (None)