Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem9 39189
Description: Lemma for paddass 39199. Combine paddasslem7 39187 and paddasslem8 39188. (Contributed by NM, 9-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem9
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1189 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴))
3 simpl3l 1225 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
4 simpr31 1260 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
53, 4jca 511 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴))
6 simpr1 1191 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍))
7 simpr32 1261 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
8 simpl3r 1226 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
93, 8, 43jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴))
10 an6 1441 . . . . . 6 (((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) ↔ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)))
11 ssel2 3969 . . . . . . 7 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
12 ssel2 3969 . . . . . . 7 ((π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
13 ssel2 3969 . . . . . . 7 ((𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
1411, 12, 133anim123i 1148 . . . . . 6 (((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
1510, 14sylbi 216 . . . . 5 (((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
16153ad2antl2 1183 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
17163ad2antr1 1185 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
18 simpr2l 1229 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
19 simpr2r 1230 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
2018, 19, 73jca 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))
21 simpr33 1262 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))
22 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
23 paddasslem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
24 paddasslem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2522, 23, 24paddasslem7 39187 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))
261, 9, 17, 20, 21, 25syl32anc 1375 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))
27 paddasslem.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
2822, 23, 24, 27paddasslem8 39188 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
291, 2, 5, 6, 7, 26, 28syl33anc 1382 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑠 ≀ (𝑝 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  lecple 17203  joincjn 18266  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  +𝑃cpadd 39156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18387  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-padd 39157
This theorem is referenced by:  paddasslem10  39190
  Copyright terms: Public domain W3C validator