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Theorem gboge9 42430
Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 42440, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboge9 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge9
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbo 42419 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2 df-3an 1110 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3 an6 1570 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4 oddprmuzge3 42403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
5 oddprmuzge3 42403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
6 oddprmuzge3 42403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ‘3))
7 6p3e9 11480 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 3) = 9
8 eluzelz 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9 eluzelz 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10 zaddcl 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
118, 9, 10syl2an 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
1211zred 11772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13 eluzelre 11941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15143impa 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16 6re 11406 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℝ
17 3re 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
1816, 17pm3.2i 463 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
1915, 18jctil 516 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20 3p3e6 11472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 3) = 6
21 eluzelre 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22 eluzelre 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
2321, 22anim12i 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
2417, 17pm3.2i 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
2523, 24jctil 516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26 eluzle 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27 eluzle 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑞)
2826, 27anim12i 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29 le2add 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
3025, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
3120, 30syl5eqbrr 4879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32313adant3 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33 eluzle 11943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34333ad2ant3 1166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
3532, 34jca 508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36 le2add 10802 . . . . . . . . . . . . 13 (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3719, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
387, 37syl5eqbrr 4879 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
394, 5, 6, 38syl3an 1200 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
403, 39sylbi 209 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
412, 40sylanbr 578 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42 breq2 4847 . . . . . . . 8 (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4341, 42syl5ibrcom 239 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
4443expimpd 446 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4544rexlimdva 3212 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4645a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
4746rexlimdvv 3218 . . 3 (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4847imp 396 . 2 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
491, 48sylbi 209 1 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223   + caddc 10227  cle 10364  3c3 11369  6c6 11372  9c9 11375  cz 11666  cuz 11930  cprime 15719   Odd codd 42316   GoldbachOdd cgbo 42413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-dvds 15320  df-prm 15720  df-even 42317  df-odd 42318  df-gbo 42416
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