Theorem gboge9 45185

Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 45195, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gboge9	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge9

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbo 45174	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3		an6 1444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4		oddprmuzge3 45137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
5		oddprmuzge3 45137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
6		oddprmuzge3 45137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3))
7		6p3e9 12133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 3) = 9
8		eluzelz 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9		eluzelz 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10		zaddcl 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
12	11	zred 12425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13		eluzelre 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15	14	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16		6re 12063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℝ
17		3re 12053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
18	16, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
19	15, 18	jctil 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20		3p3e6 12125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 3) = 6
21		eluzelre 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22		eluzelre 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
24	17, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
25	23, 24	jctil 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26		eluzle 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27		eluzle 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑞)
28	26, 27	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29		le2add 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
30	25, 28, 29	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
31	20, 30	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32	31	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33		eluzle 12594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34	33	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
35	32, 34	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36		le2add 11457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
37	19, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
38	7, 37	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
39	4, 5, 6, 38	syl3an 1159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
40	3, 39	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41	2, 40	sylanbr 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42		breq2 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	41, 42	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
44	43	expimpd 454	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
45	44	rexlimdva 3215	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
47	46	rexlimdvv 3224	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
48	47	imp 407	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
49	1, 48	sylbi 216	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871   + caddc 10875   ≤ cle 11011  3c3 12029  6c6 12032  9c9 12035  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12581  ℙcprime 16374   Odd codd 45046   GoldbachOdd cgbo 45168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-prm 16375  df-even 45047  df-odd 45048  df-gbo 45171

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