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Theorem gboge9 46046
Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 46056, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboge9 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge9
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbo 46035 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3 an6 1446 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4 oddprmuzge3 45998 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
5 oddprmuzge3 45998 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
6 oddprmuzge3 45998 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ‘3))
7 6p3e9 12321 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 3) = 9
8 eluzelz 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9 eluzelz 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10 zaddcl 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
118, 9, 10syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
1211zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13 eluzelre 12782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15143impa 1111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16 6re 12251 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℝ
17 3re 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
1816, 17pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
1915, 18jctil 521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20 3p3e6 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 3) = 6
21 eluzelre 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22 eluzelre 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
2321, 22anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
2417, 17pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
2523, 24jctil 521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26 eluzle 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27 eluzle 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑞)
2826, 27anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29 le2add 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
3025, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
3120, 30eqbrtrrid 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32313adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33 eluzle 12784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34333ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
3532, 34jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36 le2add 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3719, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
387, 37eqbrtrrid 5145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
394, 5, 6, 38syl3an 1161 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
403, 39sylbi 216 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
412, 40sylanbr 583 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42 breq2 5113 . . . . . . . 8 (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4341, 42syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
4443expimpd 455 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4544rexlimdva 3149 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4645a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
4746rexlimdvv 3201 . . 3 (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4847imp 408 . 2 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
491, 48sylbi 216 1 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070   class class class wbr 5109  cfv 6500  (class class class)co 7361  cr 11058   + caddc 11062  cle 11198  3c3 12217  6c6 12220  9c9 12223  cz 12507  cuz 12771  cprime 16555   Odd codd 45907   GoldbachOdd cgbo 46029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556  df-even 45908  df-odd 45909  df-gbo 46032
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