Theorem gboge9 48667

Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 48677, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gboge9	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge9

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbo 48656	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3		an6 1474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4		oddprmuzge3 48619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
5		oddprmuzge3 48619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
6		oddprmuzge3 48619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3))
7		6p3e9 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 3) = 9
8		eluzelz 12900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9		eluzelz 12900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10		zaddcl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
12	11	zred 12728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13		eluzelre 12901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15	14	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16		6re 12358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℝ
17		3re 12348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
18	16, 17	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
19	15, 18	jctil 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20		3p3e6 12419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 3) = 6
21		eluzelre 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22		eluzelre 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
24	17, 17	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
25	23, 24	jctil 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26		eluzle 12903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27		eluzle 12903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑞)
28	26, 27	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29		le2add 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
30	25, 28, 29	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
31	20, 30	eqbrtrrid 5145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32	31	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33		eluzle 12903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34	33	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
35	32, 34	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36		le2add 11723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
37	19, 35, 36	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
38	7, 37	eqbrtrrid 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
39	4, 5, 6, 38	syl3an 1178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
40	3, 39	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41	2, 40	sylanbr 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	41, 42	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
44	43	expimpd 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
45	44	rexlimdva 3165	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
47	46	rexlimdvv 3220	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
48	47	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
49	1, 48	sylbi 220	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126   + caddc 11130   ≤ cle 11271  3c3 12323  6c6 12326  9c9 12329  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ℙcprime 16765   Odd codd 48528   GoldbachOdd cgbo 48650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-prm 16766  df-even 48529  df-odd 48530  df-gbo 48653

This theorem is used by: (None)