Theorem gboge9 47638

Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 47648, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gboge9	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge9

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbo 47627	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3		an6 1445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4		oddprmuzge3 47590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
5		oddprmuzge3 47590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
6		oddprmuzge3 47590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3))
7		6p3e9 12453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 3) = 9
8		eluzelz 12913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9		eluzelz 12913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10		zaddcl 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
12	11	zred 12747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13		eluzelre 12914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15	14	3impa 1110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16		6re 12383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℝ
17		3re 12373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
18	16, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
19	15, 18	jctil 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20		3p3e6 12445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 3) = 6
21		eluzelre 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22		eluzelre 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
24	17, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
25	23, 24	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑞)
28	26, 27	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29		le2add 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
30	25, 28, 29	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
31	20, 30	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32	31	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
35	32, 34	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36		le2add 11772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
37	19, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
38	7, 37	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
39	4, 5, 6, 38	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
40	3, 39	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41	2, 40	sylanbr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42		breq2 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	41, 42	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
44	43	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
45	44	rexlimdva 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
47	46	rexlimdvv 3218	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
48	47	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
49	1, 48	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   ≤ cle 11325  3c3 12349  6c6 12352  9c9 12355  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℙcprime 16718   Odd codd 47499   GoldbachOdd cgbo 47621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-even 47500  df-odd 47501  df-gbo 47624

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