Theorem gboge9 47758

Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 47768, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gboge9	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge9

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbo 47747	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3		an6 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4		oddprmuzge3 47710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘3))
5		oddprmuzge3 47710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3))
6		oddprmuzge3 47710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3))
7		6p3e9 12405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 3) = 9
8		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10		zaddcl 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
12	11	zred 12702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13		eluzelre 12868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15	14	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16		6re 12335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℝ
17		3re 12325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
18	16, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
19	15, 18	jctil 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20		3p3e6 12397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 3) = 6
21		eluzelre 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22		eluzelre 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
24	17, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
25	23, 24	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26		eluzle 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27		eluzle 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑞)
28	26, 27	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29		le2add 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
30	25, 28, 29	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
31	20, 30	eqbrtrrid 5160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32	31	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33		eluzle 12870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
35	32, 34	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36		le2add 11724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
37	19, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
38	7, 37	eqbrtrrid 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ≥‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
39	4, 5, 6, 38	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
40	3, 39	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41	2, 40	sylanbr 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42		breq2 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	41, 42	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
44	43	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
45	44	rexlimdva 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
46	45	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
47	46	rexlimdvv 3201	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
48	47	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
49	1, 48	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   ≤ cle 11275  3c3 12301  6c6 12304  9c9 12307  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℙcprime 16695   Odd codd 47619   GoldbachOdd cgbo 47741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-prm 16696  df-even 47620  df-odd 47621  df-gbo 47744

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