Theorem prneprprc 4793

Description: A proper unordered pair is not an improper unordered pair. (Contributed by AV, 13-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prneprprc	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem prneprprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnesn 4792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷})
2	1	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷})
3		prprc1 4703	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶, 𝐷} = {𝐷})
4	3	neeq2d 3078	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → ({𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷} ↔ {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷}))
5	4	adantl 484	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷} ↔ {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷}))
6	2, 5	mpbird 259	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496  {csn 4569  {cpr 4571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-nul 4294  df-sn 4570  df-pr 4572

This theorem is referenced by:  preq12nebg  4795  opthprneg  4797