Theorem prneprprc 4805

Description: A proper unordered pair is not an improper unordered pair. (Contributed by AV, 13-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prneprprc	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem prneprprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnesn 4804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷})
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷})
3		prprc1 4713	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶, 𝐷} = {𝐷})
4	3	neeq2d 3001	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → ({𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷} ↔ {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷}))
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷} ↔ {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷}))
6	2, 5	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3441  {csn 4573  {cpr 4575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-nul 4270  df-sn 4574  df-pr 4576

This theorem is referenced by:  preq12nebg  4807  opthprneg  4809