Theorem prneprprc 4830

Description: A proper unordered pair is not an improper unordered pair. (Contributed by AV, 13-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prneprprc	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷})

Proof of Theorem prneprprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnesn 4829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷})
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷})
3		prprc1 4736	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶, 𝐷} = {𝐷})
4	3	neeq2d 3024	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → ({𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷} ↔ {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷}))
5	4	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷} ↔ {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐷}))
6	2, 5	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ≠ {𝐶, 𝐷})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  {csn 4594  {cpr 4596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-nul 4295  df-sn 4595  df-pr 4597

This theorem is referenced by:  preq12nebg  4832  opthprneg  4834